Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47250 / 56273
↖ ↑ ↗
← N 24.644521°
W 50.223999°		 ← 277.61 m → N 24.644521°
W 50.221252°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 24.642024°
W 50.223999°		 ← 277.61 m →
77 060 m²		 N 24.642024°
W 50.221252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360492706298828 y=0.429332733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360492706298828 × 217)
    floor (0.360492706298828 × 131072)
    floor (47250.5)     		tx = 47250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429332733154297 × 217)
    floor (0.429332733154297 × 131072)
    floor (56273.5)     		ty = 56273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47250 / 56273 ti = "17/47250/56273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47250/56273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47250 ÷ 217
    47250 ÷ 131072     		x = 0.360488891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56273 ÷ 217
    56273 ÷ 131072     		y = 0.429328918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360488891601562 × 2 - 1) × π
    -0.279022216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87657415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429328918457031 × 2 - 1) × π
    0.141342163085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.44403950118058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87657415} λ = -0.87657415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44403950118058))-π/2
    2×atan(1.55899206643279)-π/2
    2×1.00046217853062-π/2
    2.00092435706124-1.57079632675     		φ = 0.43012803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87657415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.223999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43012803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.644521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47250 KachelY 56273 -0.87657415 0.43012803 -50.223999 24.644521
    Oben rechts KachelX + 1 47251 KachelY 56273 -0.87652621 0.43012803 -50.221252 24.644521
    Unten links KachelX 47250 KachelY + 1 56274 -0.87657415 0.43008446 -50.223999 24.642024
    Unten rechts KachelX + 1 47251 KachelY + 1 56274 -0.87652621 0.43008446 -50.221252 24.642024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43012803-0.43008446) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43012803-0.43008446) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87657415--0.87652621) × cos(0.43012803) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.908912370256458 × 6371000     		do = 277.605233281193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87657415--0.87652621) × cos(0.43008446) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.908930537524904 × 6371000     		du = 277.610782032602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43012803)-sin(0.43008446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908912370256458-0.908930537524904)×R²
    abs(-0.87652621--0.87657415)×1.81672684463896e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.81672684463896e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.81672684463896e-05×40589641000000     		ar = 77059.6716853167m²