Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4725 / 3529
↖ ↑ ↗
← N 24.166802°
E 27.641602°		 ← 4 458.23 m → N 24.166802°
E 27.685547°		 →
↑
4 458.94 m
↓
↑
4 458.94 m
↓
N 24.126702°
E 27.641602°		 ← 4 459.63 m →
19 882 074 m²		 N 24.126702°
E 27.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57684326171875 y=0.43084716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57684326171875 × 213)
    floor (0.57684326171875 × 8192)
    floor (4725.5)     		tx = 4725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43084716796875 × 213)
    floor (0.43084716796875 × 8192)
    floor (3529.5)     		ty = 3529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4725 / 3529 ti = "13/4725/3529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4725/3529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4725 ÷ 213
    4725 ÷ 8192     		x = 0.5767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3529 ÷ 213
    3529 ÷ 8192     		y = 0.4307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    0.153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48243696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    0.138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.434883553353149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48243696} λ = 0.48243696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434883553353149))-π/2
    2×atan(1.54478316365792)-π/2
    2×0.996293296424964-π/2
    1.99258659284993-1.57079632675     		φ = 0.42179027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48243696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.641602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42179027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.166802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4725 KachelY 3529 0.48243696 0.42179027 27.641602 24.166802
    Oben rechts KachelX + 1 4726 KachelY 3529 0.48320395 0.42179027 27.685547 24.166802
    Unten links KachelX 4725 KachelY + 1 3530 0.48243696 0.42109039 27.641602 24.126702
    Unten rechts KachelX + 1 4726 KachelY + 1 3530 0.48320395 0.42109039 27.685547 24.126702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42179027-0.42109039) × R
    0.000699880000000042 × 6371000     		dl = 4458.93548000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42179027-0.42109039) × R
    0.000699880000000042 × 6371000     		dr = 4458.93548000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48243696-0.48320395) × cos(0.42179027) × R
    0.000766989999999967 × 0.912357476140885 × 6371000     		do = 4458.22868524358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48243696-0.48320395) × cos(0.42109039) × R
    0.000766989999999967 × 0.912643779671347 × 6371000     		du = 4459.62770552409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42179027)-sin(0.42109039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912357476140885-0.912643779671347)×R²
    abs(0.48320395-0.48243696)×0.000286303530462106×R²
    0.000766989999999967×0.000286303530462106×6371000²
    0.000766989999999967×0.000286303530462106×40589641000000     		ar = 19882073.9447429m²