Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47249 / 57005
↖ ↑ ↗
← N 22.804035°
W 50.226745°		 ← 281.49 m → N 22.804035°
W 50.223999°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 22.801503°
W 50.226745°		 ← 281.50 m →
79 251 m²		 N 22.801503°
W 50.223999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360485076904297 y=0.434917449951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360485076904297 × 217)
    floor (0.360485076904297 × 131072)
    floor (47249.5)     		tx = 47249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434917449951172 × 217)
    floor (0.434917449951172 × 131072)
    floor (57005.5)     		ty = 57005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47249 / 57005 ti = "17/47249/57005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47249/57005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47249 ÷ 217
    47249 ÷ 131072     		x = 0.360481262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57005 ÷ 217
    57005 ÷ 131072     		y = 0.434913635253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360481262207031 × 2 - 1) × π
    -0.279037475585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.87662208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434913635253906 × 2 - 1) × π
    0.130172729492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.408949690658699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87662208} λ = -0.87662208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408949690658699))-π/2
    2×atan(1.50523599114941)-π/2
    2×0.984400912109218-π/2
    1.96880182421844-1.57079632675     		φ = 0.39800550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87662208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.226745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39800550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.804035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47249 KachelY 57005 -0.87662208 0.39800550 -50.226745 22.804035
    Oben rechts KachelX + 1 47250 KachelY 57005 -0.87657415 0.39800550 -50.223999 22.804035
    Unten links KachelX 47249 KachelY + 1 57006 -0.87662208 0.39796131 -50.226745 22.801503
    Unten rechts KachelX + 1 47250 KachelY + 1 57006 -0.87657415 0.39796131 -50.223999 22.801503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39800550-0.39796131) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dl = 281.534489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39800550-0.39796131) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dr = 281.534489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87662208--0.87657415) × cos(0.39800550) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.921835856368026 × 6371000     		do = 281.493668426849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87662208--0.87657415) × cos(0.39796131) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.921852982650822 × 6371000     		du = 281.49889814333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39800550)-sin(0.39796131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921835856368026-0.921852982650822)×R²
    abs(-0.87657415--0.87662208)×1.71262827954877e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.71262827954877e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.71262827954877e-05×40589641000000     		ar = 79250.9125644662m²