Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4724 / 2060
↖ ↑ ↗
← N 82.659460°
W128.100586°		 ← 156.08 m → N 82.659460°
W128.089600°		 →
↑
156.09 m
↓
↑
156.09 m
↓
N 82.658056°
W128.100586°		 ← 156.11 m →
24 365 m²		 N 82.658056°
W128.089600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144180297851562 y=0.0628814697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144180297851562 × 215)
    floor (0.144180297851562 × 32768)
    floor (4724.5)     		tx = 4724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0628814697265625 × 215)
    floor (0.0628814697265625 × 32768)
    floor (2060.5)     		ty = 2060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4724 / 2060 ti = "15/4724/2060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4724/2060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4724 ÷ 215
    4724 ÷ 32768     		x = 0.1441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2060 ÷ 215
    2060 ÷ 32768     		y = 0.0628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23577700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0628662109375 × 2 - 1) × π
    0.874267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.74659260063074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23577700} λ = -2.23577700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74659260063074))-π/2
    2×atan(15.5894218954956)-π/2
    2×1.50673803068911-π/2
    3.01347606137821-1.57079632675     		φ = 1.44267973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23577700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.100586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44267973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.659460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4724 KachelY 2060 -2.23577700 1.44267973 -128.100586 82.659460
    Oben rechts KachelX + 1 4725 KachelY 2060 -2.23558525 1.44267973 -128.089600 82.659460
    Unten links KachelX 4724 KachelY + 1 2061 -2.23577700 1.44265523 -128.100586 82.658056
    Unten rechts KachelX + 1 4725 KachelY + 1 2061 -2.23558525 1.44265523 -128.089600 82.658056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44267973-1.44265523) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dl = 156.089500000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44267973-1.44265523) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dr = 156.089500000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23577700--2.23558525) × cos(1.44267973) × R
    0.000191749999999935 × 0.127766402955546 × 6371000     		do = 156.084452681759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23577700--2.23558525) × cos(1.44265523) × R
    0.000191749999999935 × 0.127790702122261 × 6371000     		du = 156.11413749756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44267973)-sin(1.44265523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127766402955546-0.127790702122261)×R²
    abs(-2.23558525--2.23577700)×2.42991667149528e-05×R²
    0.000191749999999935×2.42991667149528e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.42991667149528e-05×40589641000000     		ar = 24365.4609222736m²