Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47239 / 55287
↖ ↑ ↗
← N 27.081137°
W 50.254211°		 ← 271.88 m → N 27.081137°
W 50.251465°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 27.078691°
W 50.254211°		 ← 271.89 m →
73 947 m²		 N 27.078691°
W 50.251465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360408782958984 y=0.421810150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360408782958984 × 217)
    floor (0.360408782958984 × 131072)
    floor (47239.5)     		tx = 47239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421810150146484 × 217)
    floor (0.421810150146484 × 131072)
    floor (55287.5)     		ty = 55287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47239 / 55287 ti = "17/47239/55287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47239/55287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47239 ÷ 217
    47239 ÷ 131072     		x = 0.360404968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55287 ÷ 217
    55287 ÷ 131072     		y = 0.421806335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360404968261719 × 2 - 1) × π
    -0.279190063476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.87710145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421806335449219 × 2 - 1) × π
    0.156387329101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.491305284205956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87710145} λ = -0.87710145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491305284205956))-π/2
    2×atan(1.63444824768477)-π/2
    2×1.02172566660377-π/2
    2.04345133320754-1.57079632675     		φ = 0.47265501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87710145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.254211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47265501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.081137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47239 KachelY 55287 -0.87710145 0.47265501 -50.254211 27.081137
    Oben rechts KachelX + 1 47240 KachelY 55287 -0.87705352 0.47265501 -50.251465 27.081137
    Unten links KachelX 47239 KachelY + 1 55288 -0.87710145 0.47261232 -50.254211 27.078691
    Unten rechts KachelX + 1 47240 KachelY + 1 55288 -0.87705352 0.47261232 -50.251465 27.078691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47265501-0.47261232) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47265501-0.47261232) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87710145--0.87705352) × cos(0.47265501) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890362729626038 × 6371000     		do = 271.882970554485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87710145--0.87705352) × cos(0.47261232) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890382163514449 × 6371000     		du = 271.888904926101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47265501)-sin(0.47261232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890362729626038-0.890382163514449)×R²
    abs(-0.87705352--0.87710145)×1.94338884101919e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94338884101919e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94338884101919e-05×40589641000000     		ar = 73946.9908670764m²