Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47236 / 55428
↖ ↑ ↗
← N 26.735799°
W 50.262451°		 ← 272.72 m → N 26.735799°
W 50.259705°		 →
↑
272.74 m
↓
↑
272.74 m
↓
N 26.733346°
W 50.262451°		 ← 272.72 m →
74 382 m²		 N 26.733346°
W 50.259705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360385894775391 y=0.422885894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360385894775391 × 217)
    floor (0.360385894775391 × 131072)
    floor (47236.5)     		tx = 47236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422885894775391 × 217)
    floor (0.422885894775391 × 131072)
    floor (55428.5)     		ty = 55428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47236 / 55428 ti = "17/47236/55428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47236/55428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47236 ÷ 217
    47236 ÷ 131072     		x = 0.360382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55428 ÷ 217
    55428 ÷ 131072     		y = 0.422882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360382080078125 × 2 - 1) × π
    -0.27923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87724526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422882080078125 × 2 - 1) × π
    0.15423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.484546181359528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87724526} λ = -0.87724526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484546181359528))-π/2
    2×atan(1.62343809517505)-π/2
    2×1.01871202392027-π/2
    2.03742404784054-1.57079632675     		φ = 0.46662772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87724526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.262451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46662772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.735799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47236 KachelY 55428 -0.87724526 0.46662772 -50.262451 26.735799
    Oben rechts KachelX + 1 47237 KachelY 55428 -0.87719733 0.46662772 -50.259705 26.735799
    Unten links KachelX 47236 KachelY + 1 55429 -0.87724526 0.46658491 -50.262451 26.733346
    Unten rechts KachelX + 1 47237 KachelY + 1 55429 -0.87719733 0.46658491 -50.259705 26.733346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46662772-0.46658491) × R
    4.28100000000042e-05 × 6371000     		dl = 272.742510000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46662772-0.46658491) × R
    4.28100000000042e-05 × 6371000     		dr = 272.742510000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87724526--0.87719733) × cos(0.46662772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893090475089141 × 6371000     		do = 272.715920447051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87724526--0.87719733) × cos(0.46658491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893109733509318 × 6371000     		du = 272.721801237331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46662772)-sin(0.46658491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893090475089141-0.893109733509318)×R²
    abs(-0.87719733--0.87724526)×1.92584201778034e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92584201778034e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92584201778034e-05×40589641000000     		ar = 74382.0266418114m²