Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47231 / 55310
↖ ↑ ↗
← N 27.024877°
W 50.276184°		 ← 272.08 m → N 27.024877°
W 50.273437°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.022431°
W 50.276184°		 ← 272.08 m →
74 017 m²		 N 27.022431°
W 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360347747802734 y=0.421985626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360347747802734 × 217)
    floor (0.360347747802734 × 131072)
    floor (47231.5)     		tx = 47231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421985626220703 × 217)
    floor (0.421985626220703 × 131072)
    floor (55310.5)     		ty = 55310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47231 / 55310 ti = "17/47231/55310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47231/55310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47231 ÷ 217
    47231 ÷ 131072     		x = 0.360343933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55310 ÷ 217
    55310 ÷ 131072     		y = 0.421981811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360343933105469 × 2 - 1) × π
    -0.279312133789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.87748495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421981811523438 × 2 - 1) × π
    0.156036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.490202735514694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87748495} λ = -0.87748495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490202735514694))-π/2
    2×atan(1.63264718197212)-π/2
    2×1.02123470934602-π/2
    2.04246941869204-1.57079632675     		φ = 0.47167309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87748495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.276184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47167309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.024877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47231 KachelY 55310 -0.87748495 0.47167309 -50.276184 27.024877
    Oben rechts KachelX + 1 47232 KachelY 55310 -0.87743701 0.47167309 -50.273437 27.024877
    Unten links KachelX 47231 KachelY + 1 55311 -0.87748495 0.47163039 -50.276184 27.022431
    Unten rechts KachelX + 1 47232 KachelY + 1 55311 -0.87743701 0.47163039 -50.273437 27.022431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47167309-0.47163039) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47167309-0.47163039) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87748495--0.87743701) × cos(0.47167309) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890809321181505 × 6371000     		do = 272.07609612121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87748495--0.87743701) × cos(0.47163039) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890828722281166 × 6371000     		du = 272.082021716431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47167309)-sin(0.47163039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890809321181505-0.890828722281166)×R²
    abs(-0.87743701--0.87748495)×1.94010996613647e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94010996613647e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94010996613647e-05×40589641000000     		ar = 74016.8497339636m²