Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47230 / 55278
↖ ↑ ↗
← N 27.103144°
W 50.278930°		 ← 271.83 m → N 27.103144°
W 50.276184°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
N 27.100699°
W 50.278930°		 ← 271.84 m →
73 898 m²		 N 27.100699°
W 50.276184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360340118408203 y=0.421741485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360340118408203 × 217)
    floor (0.360340118408203 × 131072)
    floor (47230.5)     		tx = 47230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421741485595703 × 217)
    floor (0.421741485595703 × 131072)
    floor (55278.5)     		ty = 55278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47230 / 55278 ti = "17/47230/55278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47230/55278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47230 ÷ 217
    47230 ÷ 131072     		x = 0.360336303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55278 ÷ 217
    55278 ÷ 131072     		y = 0.421737670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360336303710938 × 2 - 1) × π
    -0.279327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87753288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421737670898438 × 2 - 1) × π
    0.156524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.491736716302536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87753288} λ = -0.87753288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491736716302536))-π/2
    2×atan(1.63515355325381)-π/2
    2×1.0219177132684-π/2
    2.0438354265368-1.57079632675     		φ = 0.47303910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87753288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.278930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47303910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.103144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47230 KachelY 55278 -0.87753288 0.47303910 -50.278930 27.103144
    Oben rechts KachelX + 1 47231 KachelY 55278 -0.87748495 0.47303910 -50.276184 27.103144
    Unten links KachelX 47230 KachelY + 1 55279 -0.87753288 0.47299643 -50.278930 27.100699
    Unten rechts KachelX + 1 47231 KachelY + 1 55279 -0.87748495 0.47299643 -50.276184 27.100699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47303910-0.47299643) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dl = 271.850569999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47303910-0.47299643) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dr = 271.850569999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87753288--0.87748495) × cos(0.47303910) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890187806287542 × 6371000     		do = 271.829555608747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87753288--0.87748495) × cos(0.47299643) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890207245662664 × 6371000     		du = 271.835491655796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47303910)-sin(0.47299643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890187806287542-0.890207245662664)×R²
    abs(-0.87748495--0.87753288)×1.94393751219435e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94393751219435e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94393751219435e-05×40589641000000     		ar = 73897.8265052078m²