Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47230 / 55275
↖ ↑ ↗
← N 27.110478°
W 50.278930°		 ← 271.81 m → N 27.110478°
W 50.276184°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
N 27.108034°
W 50.278930°		 ← 271.82 m →
73 893 m²		 N 27.108034°
W 50.276184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360340118408203 y=0.421718597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360340118408203 × 217)
    floor (0.360340118408203 × 131072)
    floor (47230.5)     		tx = 47230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421718597412109 × 217)
    floor (0.421718597412109 × 131072)
    floor (55275.5)     		ty = 55275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47230 / 55275 ti = "17/47230/55275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47230/55275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47230 ÷ 217
    47230 ÷ 131072     		x = 0.360336303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55275 ÷ 217
    55275 ÷ 131072     		y = 0.421714782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360336303710938 × 2 - 1) × π
    -0.279327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87753288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421714782714844 × 2 - 1) × π
    0.156570434570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.491880527001396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87753288} λ = -0.87753288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491880527001396))-π/2
    2×atan(1.63538872273858)-π/2
    2×1.02198172043663-π/2
    2.04396344087326-1.57079632675     		φ = 0.47316711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87753288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.278930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47316711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.110478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47230 KachelY 55275 -0.87753288 0.47316711 -50.278930 27.110478
    Oben rechts KachelX + 1 47231 KachelY 55275 -0.87748495 0.47316711 -50.276184 27.110478
    Unten links KachelX 47230 KachelY + 1 55276 -0.87753288 0.47312444 -50.278930 27.108034
    Unten rechts KachelX + 1 47231 KachelY + 1 55276 -0.87748495 0.47312444 -50.276184 27.108034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47316711-0.47312444) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dl = 271.850570000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47316711-0.47312444) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dr = 271.850570000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87753288--0.87748495) × cos(0.47316711) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890129478437574 × 6371000     		do = 271.811744498076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87753288--0.87748495) × cos(0.47312444) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890148922674961 × 6371000     		du = 271.817682029876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47316711)-sin(0.47312444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890129478437574-0.890148922674961)×R²
    abs(-0.87748495--0.87753288)×1.94442373876447e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94442373876447e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94442373876447e-05×40589641000000     		ar = 73892.9847464797m²