Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4723 / 3459
↖ ↑ ↗
← N 26.941660°
E 27.553711°		 ← 4 356.15 m → N 26.941660°
E 27.597656°		 →
↑
4 356.94 m
↓
↑
4 356.94 m
↓
N 26.902477°
E 27.553711°		 ← 4 357.67 m →
18 982 780 m²		 N 26.902477°
E 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57659912109375 y=0.42230224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57659912109375 × 213)
    floor (0.57659912109375 × 8192)
    floor (4723.5)     		tx = 4723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42230224609375 × 213)
    floor (0.42230224609375 × 8192)
    floor (3459.5)     		ty = 3459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4723 / 3459 ti = "13/4723/3459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4723/3459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4723 ÷ 213
    4723 ÷ 8192     		x = 0.5765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3459 ÷ 213
    3459 ÷ 8192     		y = 0.4222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4222412109375 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488572880927612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48090298} λ = 0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488572880927612))-π/2
    2×atan(1.62998837179905)-π/2
    2×1.02050849590036-π/2
    2.04101699180071-1.57079632675     		φ = 0.47022067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47022067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.941660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4723 KachelY 3459 0.48090298 0.47022067 27.553711 26.941660
    Oben rechts KachelX + 1 4724 KachelY 3459 0.48166997 0.47022067 27.597656 26.941660
    Unten links KachelX 4723 KachelY + 1 3460 0.48090298 0.46953680 27.553711 26.902477
    Unten rechts KachelX + 1 4724 KachelY + 1 3460 0.48166997 0.46953680 27.597656 26.902477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47022067-0.46953680) × R
    0.000683870000000031 × 6371000     		dl = 4356.9357700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47022067-0.46953680) × R
    0.000683870000000031 × 6371000     		dr = 4356.9357700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48090298-0.48166997) × cos(0.47022067) × R
    0.000766990000000023 × 0.891468328071976 × 6371000     		do = 4356.15400337136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48090298-0.48166997) × cos(0.46953680) × R
    0.000766990000000023 × 0.891777969470339 × 6371000     		du = 4357.66706398676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47022067)-sin(0.46953680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891468328071976-0.891777969470339)×R²
    abs(0.48166997-0.48090298)×0.000309641398362981×R²
    0.000766990000000023×0.000309641398362981×6371000²
    0.000766990000000023×0.000309641398362981×40589641000000     		ar = 18982780.0906962m²