Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47229 / 55305
↖ ↑ ↗
← N 27.037110°
W 50.281677°		 ← 272.05 m → N 27.037110°
W 50.278930°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 27.034664°
W 50.281677°		 ← 272.05 m →
73 991 m²		 N 27.034664°
W 50.278930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360332489013672 y=0.421947479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360332489013672 × 217)
    floor (0.360332489013672 × 131072)
    floor (47229.5)     		tx = 47229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421947479248047 × 217)
    floor (0.421947479248047 × 131072)
    floor (55305.5)     		ty = 55305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47229 / 55305 ti = "17/47229/55305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47229/55305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47229 ÷ 217
    47229 ÷ 131072     		x = 0.360328674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55305 ÷ 217
    55305 ÷ 131072     		y = 0.421943664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360328674316406 × 2 - 1) × π
    -0.279342651367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.87758082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421943664550781 × 2 - 1) × π
    0.156112670898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.490442420012794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87758082} λ = -0.87758082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490442420012794))-π/2
    2×atan(1.63303854909295)-π/2
    2×1.02134146012456-π/2
    2.04268292024912-1.57079632675     		φ = 0.47188659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87758082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.281677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47188659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.037110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47229 KachelY 55305 -0.87758082 0.47188659 -50.281677 27.037110
    Oben rechts KachelX + 1 47230 KachelY 55305 -0.87753288 0.47188659 -50.278930 27.037110
    Unten links KachelX 47229 KachelY + 1 55306 -0.87758082 0.47184390 -50.281677 27.034664
    Unten rechts KachelX + 1 47230 KachelY + 1 55306 -0.87753288 0.47184390 -50.278930 27.034664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47188659-0.47184390) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47188659-0.47184390) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87758082--0.87753288) × cos(0.47188659) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890712291320849 × 6371000     		do = 272.046460704218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87758082--0.87753288) × cos(0.47184390) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890731695995881 × 6371000     		du = 272.052387391449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47188659)-sin(0.47184390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890712291320849-0.890731695995881)×R²
    abs(-0.87753288--0.87758082)×1.94046750314758e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94046750314758e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94046750314758e-05×40589641000000     		ar = 73991.4555444618m²