Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47227 / 55284
↖ ↑ ↗
← N 27.088473°
W 50.287171°		 ← 271.92 m → N 27.088473°
W 50.284424°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 27.086028°
W 50.287171°		 ← 271.93 m →
73 940 m²		 N 27.086028°
W 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360317230224609 y=0.421787261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360317230224609 × 217)
    floor (0.360317230224609 × 131072)
    floor (47227.5)     		tx = 47227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421787261962891 × 217)
    floor (0.421787261962891 × 131072)
    floor (55284.5)     		ty = 55284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47227 / 55284 ti = "17/47227/55284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47227/55284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47227 ÷ 217
    47227 ÷ 131072     		x = 0.360313415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55284 ÷ 217
    55284 ÷ 131072     		y = 0.421783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360313415527344 × 2 - 1) × π
    -0.279373168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.87767670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421783447265625 × 2 - 1) × π
    0.15643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.491449094904816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87767670} λ = -0.87767670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491449094904816))-π/2
    2×atan(1.63468331573176)-π/2
    2×1.0217896863512-π/2
    2.04357937270239-1.57079632675     		φ = 0.47278305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87767670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.287171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47278305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.088473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47227 KachelY 55284 -0.87767670 0.47278305 -50.287171 27.088473
    Oben rechts KachelX + 1 47228 KachelY 55284 -0.87762876 0.47278305 -50.284424 27.088473
    Unten links KachelX 47227 KachelY + 1 55285 -0.87767670 0.47274037 -50.287171 27.086028
    Unten rechts KachelX + 1 47228 KachelY + 1 55285 -0.87762876 0.47274037 -50.284424 27.086028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47278305-0.47274037) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47278305-0.47274037) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87767670--0.87762876) × cos(0.47278305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890304431886149 × 6371000     		do = 271.921889933928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87767670--0.87762876) × cos(0.47274037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890323866087922 × 6371000     		du = 271.927825639386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47278305)-sin(0.47274037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890304431886149-0.890323866087922)×R²
    abs(-0.87762876--0.87767670)×1.94342017731941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94342017731941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94342017731941e-05×40589641000000     		ar = 73940.2519302174m²