Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47223 / 55293
↖ ↑ ↗
← N 27.066463°
W 50.298157°		 ← 271.92 m → N 27.066463°
W 50.295410°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 27.064018°
W 50.298157°		 ← 271.92 m →
73 939 m²		 N 27.064018°
W 50.295410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360286712646484 y=0.421855926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360286712646484 × 217)
    floor (0.360286712646484 × 131072)
    floor (47223.5)     		tx = 47223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421855926513672 × 217)
    floor (0.421855926513672 × 131072)
    floor (55293.5)     		ty = 55293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47223 / 55293 ti = "17/47223/55293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47223/55293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47223 ÷ 217
    47223 ÷ 131072     		x = 0.360282897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55293 ÷ 217
    55293 ÷ 131072     		y = 0.421852111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360282897949219 × 2 - 1) × π
    -0.279434204101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.87786844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421852111816406 × 2 - 1) × π
    0.156295776367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.491017662808235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87786844} λ = -0.87786844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491017662808235))-π/2
    2×atan(1.63397821299452)-π/2
    2×1.02159761453515-π/2
    2.04319522907031-1.57079632675     		φ = 0.47239890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87786844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.298157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47239890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.066463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47223 KachelY 55293 -0.87786844 0.47239890 -50.298157 27.066463
    Oben rechts KachelX + 1 47224 KachelY 55293 -0.87782051 0.47239890 -50.295410 27.066463
    Unten links KachelX 47223 KachelY + 1 55294 -0.87786844 0.47235622 -50.298157 27.064018
    Unten rechts KachelX + 1 47224 KachelY + 1 55294 -0.87782051 0.47235622 -50.295410 27.064018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47239890-0.47235622) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dl = 271.914280000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47239890-0.47235622) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dr = 271.914280000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87786844--0.87782051) × cos(0.47239890) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.89047929496511 × 6371000     		do = 271.918565183051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87786844--0.87782051) × cos(0.47235622) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890498714568284 × 6371000     		du = 271.924495192498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47239890)-sin(0.47235622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89047929496511-0.890498714568284)×R²
    abs(-0.87782051--0.87786844)×1.94196031744198e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94196031744198e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94196031744198e-05×40589641000000     		ar = 73939.3471087761m²