Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47222 / 55301
↖ ↑ ↗
← N 27.046896°
W 50.300903°		 ← 272.02 m → N 27.046896°
W 50.298157°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.044449°
W 50.300903°		 ← 272.03 m →
74 002 m²		 N 27.044449°
W 50.298157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360279083251953 y=0.421916961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360279083251953 × 217)
    floor (0.360279083251953 × 131072)
    floor (47222.5)     		tx = 47222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421916961669922 × 217)
    floor (0.421916961669922 × 131072)
    floor (55301.5)     		ty = 55301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47222 / 55301 ti = "17/47222/55301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47222/55301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47222 ÷ 217
    47222 ÷ 131072     		x = 0.360275268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55301 ÷ 217
    55301 ÷ 131072     		y = 0.421913146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360275268554688 × 2 - 1) × π
    -0.279449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87791638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421913146972656 × 2 - 1) × π
    0.156173706054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.490634167611275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87791638} λ = -0.87791638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490634167611275))-π/2
    2×atan(1.63335171033596)-π/2
    2×1.02142685237385-π/2
    2.0428537047477-1.57079632675     		φ = 0.47205738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87791638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.300903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47205738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.046896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47222 KachelY 55301 -0.87791638 0.47205738 -50.300903 27.046896
    Oben rechts KachelX + 1 47223 KachelY 55301 -0.87786844 0.47205738 -50.298157 27.046896
    Unten links KachelX 47222 KachelY + 1 55302 -0.87791638 0.47201468 -50.300903 27.044449
    Unten rechts KachelX + 1 47223 KachelY + 1 55302 -0.87786844 0.47201468 -50.298157 27.044449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47205738-0.47201468) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47205738-0.47201468) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87791638--0.87786844) × cos(0.47205738) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890634642746827 × 6371000     		do = 272.022744831037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87791638--0.87786844) × cos(0.47201468) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890654058462667 × 6371000     		du = 272.028674890415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47205738)-sin(0.47201468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890634642746827-0.890654058462667)×R²
    abs(-0.87786844--0.87791638)×1.94157158408537e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94157158408537e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94157158408537e-05×40589641000000     		ar = 74002.3365654587m²