Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47220 / 55289
↖ ↑ ↗
← N 27.076246°
W 50.306396°		 ← 271.89 m → N 27.076246°
W 50.303650°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 27.073801°
W 50.306396°		 ← 271.90 m →
73 933 m²		 N 27.073801°
W 50.303650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360263824462891 y=0.421825408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360263824462891 × 217)
    floor (0.360263824462891 × 131072)
    floor (47220.5)     		tx = 47220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421825408935547 × 217)
    floor (0.421825408935547 × 131072)
    floor (55289.5)     		ty = 55289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47220 / 55289 ti = "17/47220/55289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47220/55289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47220 ÷ 217
    47220 ÷ 131072     		x = 0.360260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55289 ÷ 217
    55289 ÷ 131072     		y = 0.421821594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.27947998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87801225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421821594238281 × 2 - 1) × π
    0.156356811523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.491209410406715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87801225} λ = -0.87801225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491209410406715))-π/2
    2×atan(1.63429155443311)-π/2
    2×1.02168298444349-π/2
    2.04336596888698-1.57079632675     		φ = 0.47256964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87801225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.306396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47256964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.076246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47220 KachelY 55289 -0.87801225 0.47256964 -50.306396 27.076246
    Oben rechts KachelX + 1 47221 KachelY 55289 -0.87796432 0.47256964 -50.303650 27.076246
    Unten links KachelX 47220 KachelY + 1 55290 -0.87801225 0.47252696 -50.306396 27.073801
    Unten rechts KachelX + 1 47221 KachelY + 1 55290 -0.87796432 0.47252696 -50.303650 27.073801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47256964-0.47252696) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dl = 271.914280000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47256964-0.47252696) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dr = 271.914280000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87801225--0.87796432) × cos(0.47256964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890401591228436 × 6371000     		do = 271.894837412912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87801225--0.87796432) × cos(0.47252696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890421017320484 × 6371000     		du = 271.900769403815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47256964)-sin(0.47252696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890401591228436-0.890421017320484)×R²
    abs(-0.87796432--0.87801225)×1.94260920477474e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94260920477474e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94260920477474e-05×40589641000000     		ar = 73932.8954585616m²