Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4722 / 2028
↖ ↑ ↗
← N 82.704242°
W128.122558°		 ← 155.13 m → N 82.704242°
W128.111573°		 →
↑
155.13 m
↓
↑
155.13 m
↓
N 82.702846°
W128.122558°		 ← 155.16 m →
24 068 m²		 N 82.702846°
W128.111573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144119262695312 y=0.0619049072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144119262695312 × 215)
    floor (0.144119262695312 × 32768)
    floor (4722.5)     		tx = 4722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619049072265625 × 215)
    floor (0.0619049072265625 × 32768)
    floor (2028.5)     		ty = 2028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4722 / 2028 ti = "15/4722/2028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4722/2028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4722 ÷ 215
    4722 ÷ 32768     		x = 0.14410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2028 ÷ 215
    2028 ÷ 32768     		y = 0.0618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.7117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23616049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0618896484375 × 2 - 1) × π
    0.876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.7527285237821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23616049} λ = -2.23616049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7527285237821))-π/2
    2×atan(15.6853714587559)-π/2
    2×1.50712882273518-π/2
    3.01425764547037-1.57079632675     		φ = 1.44346132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23616049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.122558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44346132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.704242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4722 KachelY 2028 -2.23616049 1.44346132 -128.122558 82.704242
    Oben rechts KachelX + 1 4723 KachelY 2028 -2.23596875 1.44346132 -128.111573 82.704242
    Unten links KachelX 4722 KachelY + 1 2029 -2.23616049 1.44343697 -128.122558 82.702846
    Unten rechts KachelX + 1 4723 KachelY + 1 2029 -2.23596875 1.44343697 -128.111573 82.702846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44346132-1.44343697) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dl = 155.133849999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44346132-1.44343697) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dr = 155.133849999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23616049--2.23596875) × cos(1.44346132) × R
    0.000191739999999996 × 0.126991179695629 × 6371000     		do = 155.129318911922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23616049--2.23596875) × cos(1.44343697) × R
    0.000191739999999996 × 0.127015332516636 × 6371000     		du = 155.158823407286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44346132)-sin(1.44343697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126991179695629-0.127015332516636)×R²
    abs(-2.23596875--2.23616049)×2.41528210066233e-05×R²
    0.000191739999999996×2.41528210066233e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.41528210066233e-05×40589641000000     		ar = 24068.0970647138m²