Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47219 / 55309
↖ ↑ ↗
← N 27.027324°
W 50.309143°		 ← 272.07 m → N 27.027324°
W 50.306396°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.024877°
W 50.309143°		 ← 272.08 m →
74 015 m²		 N 27.024877°
W 50.306396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360256195068359 y=0.421977996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360256195068359 × 217)
    floor (0.360256195068359 × 131072)
    floor (47219.5)     		tx = 47219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421977996826172 × 217)
    floor (0.421977996826172 × 131072)
    floor (55309.5)     		ty = 55309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47219 / 55309 ti = "17/47219/55309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47219/55309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47219 ÷ 217
    47219 ÷ 131072     		x = 0.360252380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55309 ÷ 217
    55309 ÷ 131072     		y = 0.421974182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360252380371094 × 2 - 1) × π
    -0.279495239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.87806019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421974182128906 × 2 - 1) × π
    0.156051635742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.490250672414314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87806019} λ = -0.87806019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490250672414314))-π/2
    2×atan(1.63272544789209)-π/2
    2×1.02125606043197-π/2
    2.04251212086393-1.57079632675     		φ = 0.47171579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87806019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.309143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47171579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.027324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47219 KachelY 55309 -0.87806019 0.47171579 -50.309143 27.027324
    Oben rechts KachelX + 1 47220 KachelY 55309 -0.87801225 0.47171579 -50.306396 27.027324
    Unten links KachelX 47219 KachelY + 1 55310 -0.87806019 0.47167309 -50.309143 27.024877
    Unten rechts KachelX + 1 47220 KachelY + 1 55310 -0.87801225 0.47167309 -50.306396 27.024877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47171579-0.47167309) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47171579-0.47167309) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87806019--0.87801225) × cos(0.47171579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89078991845764 × 6371000     		do = 272.070170029286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87806019--0.87801225) × cos(0.47167309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890809321181505 × 6371000     		du = 272.07609612058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47171579)-sin(0.47167309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89078991845764-0.890809321181505)×R²
    abs(-0.87801225--0.87806019)×1.94027238650252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94027238650252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94027238650252e-05×40589641000000     		ar = 74015.2376572098m²