Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47218 / 55276
↖ ↑ ↗
← N 27.108034°
W 50.311890°		 ← 271.87 m → N 27.108034°
W 50.309143°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
N 27.105589°
W 50.311890°		 ← 271.88 m →
73 910 m²		 N 27.105589°
W 50.309143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360248565673828 y=0.421726226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360248565673828 × 217)
    floor (0.360248565673828 × 131072)
    floor (47218.5)     		tx = 47218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421726226806641 × 217)
    floor (0.421726226806641 × 131072)
    floor (55276.5)     		ty = 55276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47218 / 55276 ti = "17/47218/55276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47218/55276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47218 ÷ 217
    47218 ÷ 131072     		x = 0.360244750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55276 ÷ 217
    55276 ÷ 131072     		y = 0.421722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360244750976562 × 2 - 1) × π
    -0.279510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87810813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421722412109375 × 2 - 1) × π
    0.15655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.491832590101776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87810813} λ = -0.87810813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491832590101776))-π/2
    2×atan(1.63531032915253)-π/2
    2×1.02196038517991-π/2
    2.04392077035983-1.57079632675     		φ = 0.47312444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87810813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.311890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47312444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.108034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47218 KachelY 55276 -0.87810813 0.47312444 -50.311890 27.108034
    Oben rechts KachelX + 1 47219 KachelY 55276 -0.87806019 0.47312444 -50.309143 27.108034
    Unten links KachelX 47218 KachelY + 1 55277 -0.87810813 0.47308177 -50.311890 27.105589
    Unten rechts KachelX + 1 47219 KachelY + 1 55277 -0.87806019 0.47308177 -50.309143 27.105589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47312444-0.47308177) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dl = 271.850569999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47312444-0.47308177) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dr = 271.850569999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87810813--0.87806019) × cos(0.47312444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890148922674961 × 6371000     		do = 271.874393418025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87810813--0.87806019) × cos(0.47308177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890168365291629 × 6371000     		du = 271.880331693608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47312444)-sin(0.47308177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890148922674961-0.890168365291629)×R²
    abs(-0.87806019--0.87810813)×1.94426166678641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94426166678641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94426166678641e-05×40589641000000     		ar = 73910.0159920385m²