Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47217 / 55301
↖ ↑ ↗
← N 27.046896°
W 50.314636°		 ← 271.97 m → N 27.046896°
W 50.311890°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.044449°
W 50.314636°		 ← 271.97 m →
73 987 m²		 N 27.044449°
W 50.311890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360240936279297 y=0.421916961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360240936279297 × 217)
    floor (0.360240936279297 × 131072)
    floor (47217.5)     		tx = 47217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421916961669922 × 217)
    floor (0.421916961669922 × 131072)
    floor (55301.5)     		ty = 55301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47217 / 55301 ti = "17/47217/55301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47217/55301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47217 ÷ 217
    47217 ÷ 131072     		x = 0.360237121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55301 ÷ 217
    55301 ÷ 131072     		y = 0.421913146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360237121582031 × 2 - 1) × π
    -0.279525756835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.87815606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421913146972656 × 2 - 1) × π
    0.156173706054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.490634167611275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87815606} λ = -0.87815606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490634167611275))-π/2
    2×atan(1.63335171033596)-π/2
    2×1.02142685237385-π/2
    2.0428537047477-1.57079632675     		φ = 0.47205738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87815606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.314636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47205738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.046896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47217 KachelY 55301 -0.87815606 0.47205738 -50.314636 27.046896
    Oben rechts KachelX + 1 47218 KachelY 55301 -0.87810813 0.47205738 -50.311890 27.046896
    Unten links KachelX 47217 KachelY + 1 55302 -0.87815606 0.47201468 -50.314636 27.044449
    Unten rechts KachelX + 1 47218 KachelY + 1 55302 -0.87810813 0.47201468 -50.311890 27.044449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47205738-0.47201468) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47205738-0.47201468) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87815606--0.87810813) × cos(0.47205738) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890634642746827 × 6371000     		do = 271.966002497662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87815606--0.87810813) × cos(0.47201468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890654058462667 × 6371000     		du = 271.971931320065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47205738)-sin(0.47201468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890634642746827-0.890654058462667)×R²
    abs(-0.87810813--0.87815606)×1.94157158408537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94157158408537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94157158408537e-05×40589641000000     		ar = 73986.9001163687m²