Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47216 / 55472
↖ ↑ ↗
← N 26.627818°
W 50.317383°		 ← 273.03 m → N 26.627818°
W 50.314636°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
N 26.625363°
W 50.317383°		 ← 273.04 m →
74 538 m²		 N 26.625363°
W 50.314636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360233306884766 y=0.423221588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360233306884766 × 217)
    floor (0.360233306884766 × 131072)
    floor (47216.5)     		tx = 47216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423221588134766 × 217)
    floor (0.423221588134766 × 131072)
    floor (55472.5)     		ty = 55472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47216 / 55472 ti = "17/47216/55472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47216/55472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47216 ÷ 217
    47216 ÷ 131072     		x = 0.3602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55472 ÷ 217
    55472 ÷ 131072     		y = 0.4232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87820400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4232177734375 × 2 - 1) × π
    0.153564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.482436957776245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87820400} λ = -0.87820400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482436957776245))-π/2
    2×atan(1.62001750991639)-π/2
    2×1.01776971372784-π/2
    2.03553942745569-1.57079632675     		φ = 0.46474310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87820400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46474310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.627818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47216 KachelY 55472 -0.87820400 0.46474310 -50.317383 26.627818
    Oben rechts KachelX + 1 47217 KachelY 55472 -0.87815606 0.46474310 -50.314636 26.627818
    Unten links KachelX 47216 KachelY + 1 55473 -0.87820400 0.46470025 -50.317383 26.625363
    Unten rechts KachelX + 1 47217 KachelY + 1 55473 -0.87815606 0.46470025 -50.314636 26.625363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46474310-0.46470025) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dl = 272.997350000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46474310-0.46470025) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dr = 272.997350000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87820400--0.87815606) × cos(0.46474310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893936735928101 × 6371000     		do = 273.031289083846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87820400--0.87815606) × cos(0.46470025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89395594018448 × 6371000     		du = 273.037154558061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46474310)-sin(0.46470025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893936735928101-0.89395594018448)×R²
    abs(-0.87815606--0.87820400)×1.92042563781358e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92042563781358e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92042563781358e-05×40589641000000     		ar = 74537.6190278755m²