Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47214 / 55294
↖ ↑ ↗
← N 27.064018°
W 50.322876°		 ← 271.92 m → N 27.064018°
W 50.320130°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 27.061572°
W 50.322876°		 ← 271.93 m →
73 958 m²		 N 27.061572°
W 50.320130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360218048095703 y=0.421863555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360218048095703 × 217)
    floor (0.360218048095703 × 131072)
    floor (47214.5)     		tx = 47214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421863555908203 × 217)
    floor (0.421863555908203 × 131072)
    floor (55294.5)     		ty = 55294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47214 / 55294 ti = "17/47214/55294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47214/55294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47214 ÷ 217
    47214 ÷ 131072     		x = 0.360214233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55294 ÷ 217
    55294 ÷ 131072     		y = 0.421859741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360214233398438 × 2 - 1) × π
    -0.279571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87829987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421859741210938 × 2 - 1) × π
    0.156280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.490969725908615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87829987} λ = -0.87829987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490969725908615))-π/2
    2×atan(1.63389988702231)-π/2
    2×1.02157627089412-π/2
    2.04315254178824-1.57079632675     		φ = 0.47235622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87829987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.322876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47235622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.064018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47214 KachelY 55294 -0.87829987 0.47235622 -50.322876 27.064018
    Oben rechts KachelX + 1 47215 KachelY 55294 -0.87825194 0.47235622 -50.320130 27.064018
    Unten links KachelX 47214 KachelY + 1 55295 -0.87829987 0.47231353 -50.322876 27.061572
    Unten rechts KachelX + 1 47215 KachelY + 1 55295 -0.87825194 0.47231353 -50.320130 27.061572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47235622-0.47231353) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47235622-0.47231353) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87829987--0.87825194) × cos(0.47235622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890498714568284 × 6371000     		do = 271.924495193128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87829987--0.87825194) × cos(0.47231353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890518137098819 × 6371000     		du = 271.93042609648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47235622)-sin(0.47231353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890498714568284-0.890518137098819)×R²
    abs(-0.87825194--0.87829987)×1.9422530534996e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9422530534996e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9422530534996e-05×40589641000000     		ar = 73958.28418327m²