Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47212 / 55461
↖ ↑ ↗
← N 26.654823°
W 50.328369°		 ← 272.97 m → N 26.654823°
W 50.325622°		 →
↑
272.93 m
↓
↑
272.93 m
↓
N 26.652368°
W 50.328369°		 ← 272.97 m →
74 503 m²		 N 26.652368°
W 50.325622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360202789306641 y=0.423137664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360202789306641 × 217)
    floor (0.360202789306641 × 131072)
    floor (47212.5)     		tx = 47212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423137664794922 × 217)
    floor (0.423137664794922 × 131072)
    floor (55461.5)     		ty = 55461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47212 / 55461 ti = "17/47212/55461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47212/55461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47212 ÷ 217
    47212 ÷ 131072     		x = 0.360198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55461 ÷ 217
    55461 ÷ 131072     		y = 0.423133850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.27960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87839575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423133850097656 × 2 - 1) × π
    0.153732299804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.482964263672066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87839575} λ = -0.87839575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482964263672066))-π/2
    2×atan(1.62087197996445)-π/2
    2×1.01800537492613-π/2
    2.03601074985226-1.57079632675     		φ = 0.46521442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87839575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.328369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46521442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.654823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47212 KachelY 55461 -0.87839575 0.46521442 -50.328369 26.654823
    Oben rechts KachelX + 1 47213 KachelY 55461 -0.87834781 0.46521442 -50.325622 26.654823
    Unten links KachelX 47212 KachelY + 1 55462 -0.87839575 0.46517158 -50.328369 26.652368
    Unten rechts KachelX + 1 47213 KachelY + 1 55462 -0.87834781 0.46517158 -50.325622 26.652368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46521442-0.46517158) × R
    4.2840000000044e-05 × 6371000     		dl = 272.93364000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46521442-0.46517158) × R
    4.2840000000044e-05 × 6371000     		dr = 272.93364000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87839575--0.87834781) × cos(0.46521442) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.89372539424323 × 6371000     		do = 272.966739893983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87839575--0.87834781) × cos(0.46517158) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.893744612065908 × 6371000     		du = 272.972609511696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46521442)-sin(0.46517158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89372539424323-0.893744612065908)×R²
    abs(-0.87834781--0.87839575)×1.92178226786632e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.92178226786632e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.92178226786632e-05×40589641000000     		ar = 74502.6069377455m²