Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47212 / 55460
↖ ↑ ↗
← N 26.657278°
W 50.328369°		 ← 272.96 m → N 26.657278°
W 50.325622°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
N 26.654823°
W 50.328369°		 ← 272.97 m →
74 518 m²		 N 26.654823°
W 50.325622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360202789306641 y=0.423130035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360202789306641 × 217)
    floor (0.360202789306641 × 131072)
    floor (47212.5)     		tx = 47212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423130035400391 × 217)
    floor (0.423130035400391 × 131072)
    floor (55460.5)     		ty = 55460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47212 / 55460 ti = "17/47212/55460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47212/55460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47212 ÷ 217
    47212 ÷ 131072     		x = 0.360198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55460 ÷ 217
    55460 ÷ 131072     		y = 0.423126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.27960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87839575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423126220703125 × 2 - 1) × π
    0.15374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.483012200571686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87839575} λ = -0.87839575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483012200571686))-π/2
    2×atan(1.62094968140422)-π/2
    2×1.01802679590802-π/2
    2.03605359181603-1.57079632675     		φ = 0.46525727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87839575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.328369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46525727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.657278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47212 KachelY 55460 -0.87839575 0.46525727 -50.328369 26.657278
    Oben rechts KachelX + 1 47213 KachelY 55460 -0.87834781 0.46525727 -50.325622 26.657278
    Unten links KachelX 47212 KachelY + 1 55461 -0.87839575 0.46521442 -50.328369 26.654823
    Unten rechts KachelX + 1 47213 KachelY + 1 55461 -0.87834781 0.46521442 -50.325622 26.654823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46525727-0.46521442) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dl = 272.997349999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46525727-0.46521442) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dr = 272.997349999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87839575--0.87834781) × cos(0.46525727) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.8937061702938 × 6371000     		do = 272.960868405003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87839575--0.87834781) × cos(0.46521442) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.89372539424323 × 6371000     		du = 272.966739893983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46525727)-sin(0.46521442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8937061702938-0.89372539424323)×R²
    abs(-0.87834781--0.87839575)×1.92239494294366e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.92239494294366e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.92239494294366e-05×40589641000000     		ar = 74518.3951900148m²