Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47210 / 55458
↖ ↑ ↗
← N 26.662187°
W 50.333862°		 ← 272.89 m → N 26.662187°
W 50.331116°		 →
↑
272.93 m
↓
↑
272.93 m
↓
N 26.659733°
W 50.333862°		 ← 272.90 m →
74 482 m²		 N 26.659733°
W 50.331116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360187530517578 y=0.423114776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360187530517578 × 217)
    floor (0.360187530517578 × 131072)
    floor (47210.5)     		tx = 47210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423114776611328 × 217)
    floor (0.423114776611328 × 131072)
    floor (55458.5)     		ty = 55458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47210 / 55458 ti = "17/47210/55458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47210/55458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47210 ÷ 217
    47210 ÷ 131072     		x = 0.360183715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55458 ÷ 217
    55458 ÷ 131072     		y = 0.423110961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360183715820312 × 2 - 1) × π
    -0.279632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87849162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423110961914062 × 2 - 1) × π
    0.153778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.483108074370926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87849162} λ = -0.87849162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483108074370926))-π/2
    2×atan(1.6211050954585)-π/2
    2×1.01806963648967-π/2
    2.03613927297933-1.57079632675     		φ = 0.46534295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87849162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.333862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46534295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.662187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47210 KachelY 55458 -0.87849162 0.46534295 -50.333862 26.662187
    Oben rechts KachelX + 1 47211 KachelY 55458 -0.87844369 0.46534295 -50.331116 26.662187
    Unten links KachelX 47210 KachelY + 1 55459 -0.87849162 0.46530011 -50.333862 26.659733
    Unten rechts KachelX + 1 47211 KachelY + 1 55459 -0.87844369 0.46530011 -50.331116 26.659733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46534295-0.46530011) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dl = 272.933639999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46534295-0.46530011) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dr = 272.933639999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87849162--0.87844369) × cos(0.46534295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893667726446701 × 6371000     		do = 272.892191093416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87849162--0.87844369) × cos(0.46530011) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893686949190327 × 6371000     		du = 272.898060989432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46534295)-sin(0.46530011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893667726446701-0.893686949190327)×R²
    abs(-0.87844369--0.87849162)×1.92227436260906e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92227436260906e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92227436260906e-05×40589641000000     		ar = 74482.2601000932m²