Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4721 / 3611
↖ ↑ ↗
← N 20.838278°
E 27.465821°		 ← 4 566.86 m → N 20.838278°
E 27.509766°		 →
↑
4 567.50 m
↓
↑
4 567.50 m
↓
N 20.797201°
E 27.465821°		 ← 4 568.10 m →
20 861 961 m²		 N 20.797201°
E 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57635498046875 y=0.44085693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57635498046875 × 213)
    floor (0.57635498046875 × 8192)
    floor (4721.5)     		tx = 4721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44085693359375 × 213)
    floor (0.44085693359375 × 8192)
    floor (3611.5)     		ty = 3611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4721 / 3611 ti = "13/4721/3611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4721/3611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4721 ÷ 213
    4721 ÷ 8192     		x = 0.5762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3611 ÷ 213
    3611 ÷ 8192     		y = 0.4407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    0.152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47936900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4407958984375 × 2 - 1) × π
    0.118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.371990341051636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47936900} λ = 0.47936900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371990341051636))-π/2
    2×atan(1.45061896977177)-π/2
    2×0.967246442472974-π/2
    1.93449288494595-1.57079632675     		φ = 0.36369656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47936900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.465821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36369656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.838278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4721 KachelY 3611 0.47936900 0.36369656 27.465821 20.838278
    Oben rechts KachelX + 1 4722 KachelY 3611 0.48013599 0.36369656 27.509766 20.838278
    Unten links KachelX 4721 KachelY + 1 3612 0.47936900 0.36297964 27.465821 20.797201
    Unten rechts KachelX + 1 4722 KachelY + 1 3612 0.48013599 0.36297964 27.509766 20.797201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36369656-0.36297964) × R
    0.00071692000000001 × 6371000     		dl = 4567.49732000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36369656-0.36297964) × R
    0.00071692000000001 × 6371000     		dr = 4567.49732000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47936900-0.48013599) × cos(0.36369656) × R
    0.000766990000000023 × 0.934588229503929 × 6371000     		do = 4566.85911238406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47936900-0.48013599) × cos(0.36297964) × R
    0.000766990000000023 × 0.934843020272642 × 6371000     		du = 4568.10414576574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36369656)-sin(0.36297964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934588229503929-0.934843020272642)×R²
    abs(0.48013599-0.47936900)×0.00025479076871382×R²
    0.000766990000000023×0.00025479076871382×6371000²
    0.000766990000000023×0.00025479076871382×40589641000000     		ar = 20861960.9934923m²