Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4721 / 2065
↖ ↑ ↗
← N 82.652438°
W128.133545°		 ← 156.23 m → N 82.652438°
W128.122558°		 →
↑
156.22 m
↓
↑
156.22 m
↓
N 82.651033°
W128.133545°		 ← 156.26 m →
24 409 m²		 N 82.651033°
W128.122558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144088745117188 y=0.0630340576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144088745117188 × 215)
    floor (0.144088745117188 × 32768)
    floor (4721.5)     		tx = 4721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0630340576171875 × 215)
    floor (0.0630340576171875 × 32768)
    floor (2065.5)     		ty = 2065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4721 / 2065 ti = "15/4721/2065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4721/2065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4721 ÷ 215
    4721 ÷ 32768     		x = 0.144073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2065 ÷ 215
    2065 ÷ 32768     		y = 0.063018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.71185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23635224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.063018798828125 × 2 - 1) × π
    0.87396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74563386263834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23635224} λ = -2.23635224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74563386263834))-π/2
    2×atan(15.5744828868867)-π/2
    2×1.50667675431047-π/2
    3.01335350862093-1.57079632675     		φ = 1.44255718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23635224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.133545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44255718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.652438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4721 KachelY 2065 -2.23635224 1.44255718 -128.133545 82.652438
    Oben rechts KachelX + 1 4722 KachelY 2065 -2.23616049 1.44255718 -128.122558 82.652438
    Unten links KachelX 4721 KachelY + 1 2066 -2.23635224 1.44253266 -128.133545 82.651033
    Unten rechts KachelX + 1 4722 KachelY + 1 2066 -2.23616049 1.44253266 -128.122558 82.651033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44255718-1.44253266) × R
    2.45200000001944e-05 × 6371000     		dl = 156.216920001238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44255718-1.44253266) × R
    2.45200000001944e-05 × 6371000     		dr = 156.216920001238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23635224--2.23616049) × cos(1.44255718) × R
    0.000191749999999935 × 0.127887947611342 × 6371000     		do = 156.232936403907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23635224--2.23616049) × cos(1.44253266) × R
    0.000191749999999935 × 0.127912266229933 × 6371000     		du = 156.262644982883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44255718)-sin(1.44253266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127887947611342-0.127912266229933)×R²
    abs(-2.23616049--2.23635224)×2.43186185904243e-05×R²
    0.000191749999999935×2.43186185904243e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.43186185904243e-05×40589641000000     		ar = 24408.5486202162m²