Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47208 / 55288
↖ ↑ ↗
← N 27.078691°
W 50.339356°		 ← 271.95 m → N 27.078691°
W 50.336609°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 27.076246°
W 50.339356°		 ← 271.95 m →
73 947 m²		 N 27.076246°
W 50.336609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360172271728516 y=0.421817779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360172271728516 × 217)
    floor (0.360172271728516 × 131072)
    floor (47208.5)     		tx = 47208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421817779541016 × 217)
    floor (0.421817779541016 × 131072)
    floor (55288.5)     		ty = 55288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47208 / 55288 ti = "17/47208/55288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47208/55288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47208 ÷ 217
    47208 ÷ 131072     		x = 0.36016845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55288 ÷ 217
    55288 ÷ 131072     		y = 0.42181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.2796630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87858750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42181396484375 × 2 - 1) × π
    0.1563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.491257347306335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87858750} λ = -0.87858750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491257347306335))-π/2
    2×atan(1.63436989918109)-π/2
    2×1.02170432575648-π/2
    2.04340865151296-1.57079632675     		φ = 0.47261232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87858750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.339356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47261232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.078691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47208 KachelY 55288 -0.87858750 0.47261232 -50.339356 27.078691
    Oben rechts KachelX + 1 47209 KachelY 55288 -0.87853956 0.47261232 -50.336609 27.078691
    Unten links KachelX 47208 KachelY + 1 55289 -0.87858750 0.47256964 -50.339356 27.076246
    Unten rechts KachelX + 1 47209 KachelY + 1 55289 -0.87853956 0.47256964 -50.336609 27.076246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47261232-0.47256964) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47261232-0.47256964) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87858750--0.87853956) × cos(0.47261232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890382163514449 × 6371000     		do = 271.945631174023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87858750--0.87853956) × cos(0.47256964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890401591228436 × 6371000     		du = 271.951564897944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47261232)-sin(0.47256964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890382163514449-0.890401591228436)×R²
    abs(-0.87853956--0.87858750)×1.94277139876631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94277139876631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94277139876631e-05×40589641000000     		ar = 73946.7072431999m²