Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47206 / 55454
↖ ↑ ↗
← N 26.672005°
W 50.344849°		 ← 272.93 m → N 26.672005°
W 50.342102°		 →
↑
272.93 m
↓
↑
272.93 m
↓
N 26.669550°
W 50.344849°		 ← 272.93 m →
74 491 m²		 N 26.669550°
W 50.342102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360157012939453 y=0.423084259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360157012939453 × 217)
    floor (0.360157012939453 × 131072)
    floor (47206.5)     		tx = 47206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423084259033203 × 217)
    floor (0.423084259033203 × 131072)
    floor (55454.5)     		ty = 55454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47206 / 55454 ti = "17/47206/55454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47206/55454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47206 ÷ 217
    47206 ÷ 131072     		x = 0.360153198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55454 ÷ 217
    55454 ÷ 131072     		y = 0.423080444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360153198242188 × 2 - 1) × π
    -0.279693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87868337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423080444335938 × 2 - 1) × π
    0.153839111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.483299821969406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87868337} λ = -0.87868337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483299821969406))-π/2
    2×atan(1.62141596827104)-π/2
    2×1.01815531212367-π/2
    2.03631062424733-1.57079632675     		φ = 0.46551430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87868337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.344849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46551430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.672005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47206 KachelY 55454 -0.87868337 0.46551430 -50.344849 26.672005
    Oben rechts KachelX + 1 47207 KachelY 55454 -0.87863543 0.46551430 -50.342102 26.672005
    Unten links KachelX 47206 KachelY + 1 55455 -0.87868337 0.46547146 -50.344849 26.669550
    Unten rechts KachelX + 1 47207 KachelY + 1 55455 -0.87863543 0.46547146 -50.342102 26.669550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46551430-0.46547146) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dl = 272.933639999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46551430-0.46547146) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dr = 272.933639999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87868337--0.87863543) × cos(0.46551430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893590823560198 × 6371000     		do = 272.925638542904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87868337--0.87863543) × cos(0.46547146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8936100528637 × 6371000     		du = 272.931511667156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46551430)-sin(0.46547146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893590823560198-0.8936100528637)×R²
    abs(-0.87863543--0.87868337)×1.92293035019553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92293035019553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92293035019553e-05×40589641000000     		ar = 74491.3894748625m²