Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47202 / 55466
↖ ↑ ↗
← N 26.642549°
W 50.355835°		 ← 273 m → N 26.642549°
W 50.353088°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
N 26.640094°
W 50.355835°		 ← 273 m →
74 528 m²		 N 26.640094°
W 50.353088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360126495361328 y=0.423175811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360126495361328 × 217)
    floor (0.360126495361328 × 131072)
    floor (47202.5)     		tx = 47202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423175811767578 × 217)
    floor (0.423175811767578 × 131072)
    floor (55466.5)     		ty = 55466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47202 / 55466 ti = "17/47202/55466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47202/55466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47202 ÷ 217
    47202 ÷ 131072     		x = 0.360122680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55466 ÷ 217
    55466 ÷ 131072     		y = 0.423171997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360122680664062 × 2 - 1) × π
    -0.279754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87887512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423171997070312 × 2 - 1) × π
    0.153656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.482724579173965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87887512} λ = -0.87887512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482724579173965))-π/2
    2×atan(1.62048352863219)-π/2
    2×1.01789826310729-π/2
    2.03579652621458-1.57079632675     		φ = 0.46500020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87887512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.355835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46500020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.642549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47202 KachelY 55466 -0.87887512 0.46500020 -50.355835 26.642549
    Oben rechts KachelX + 1 47203 KachelY 55466 -0.87882718 0.46500020 -50.353088 26.642549
    Unten links KachelX 47202 KachelY + 1 55467 -0.87887512 0.46495735 -50.355835 26.640094
    Unten rechts KachelX + 1 47203 KachelY + 1 55467 -0.87882718 0.46495735 -50.353088 26.640094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46500020-0.46495735) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dl = 272.997349999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46500020-0.46495735) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dr = 272.997349999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87887512--0.87882718) × cos(0.46500020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893821475922142 × 6371000     		do = 272.996085711234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87887512--0.87882718) × cos(0.46495735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893840690026256 × 6371000     		du = 273.001954193201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46500020)-sin(0.46495735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893821475922142-0.893840690026256)×R²
    abs(-0.87882718--0.87887512)×1.92141041132077e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92141041132077e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92141041132077e-05×40589641000000     		ar = 74528.0090108282m²