Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47201 / 55451
↖ ↑ ↗
← N 26.679367°
W 50.358581°		 ← 272.85 m → N 26.679367°
W 50.355835°		 →
↑
272.87 m
↓
↑
272.87 m
↓
N 26.676913°
W 50.358581°		 ← 272.86 m →
74 454 m²		 N 26.676913°
W 50.355835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360118865966797 y=0.423061370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360118865966797 × 217)
    floor (0.360118865966797 × 131072)
    floor (47201.5)     		tx = 47201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423061370849609 × 217)
    floor (0.423061370849609 × 131072)
    floor (55451.5)     		ty = 55451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47201 / 55451 ti = "17/47201/55451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47201/55451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47201 ÷ 217
    47201 ÷ 131072     		x = 0.360115051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55451 ÷ 217
    55451 ÷ 131072     		y = 0.423057556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360115051269531 × 2 - 1) × π
    -0.279769897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.87892305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423057556152344 × 2 - 1) × π
    0.153884887695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.483443632668266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87892305} λ = -0.87892305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483443632668266))-π/2
    2×atan(1.62164916200206)-π/2
    2×1.0182195640101-π/2
    2.03643912802021-1.57079632675     		φ = 0.46564280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87892305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.358581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46564280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.679367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47201 KachelY 55451 -0.87892305 0.46564280 -50.358581 26.679367
    Oben rechts KachelX + 1 47202 KachelY 55451 -0.87887512 0.46564280 -50.355835 26.679367
    Unten links KachelX 47201 KachelY + 1 55452 -0.87892305 0.46559997 -50.358581 26.676913
    Unten rechts KachelX + 1 47202 KachelY + 1 55452 -0.87887512 0.46559997 -50.355835 26.676913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46564280-0.46559997) × R
    4.28300000000492e-05 × 6371000     		dl = 272.869930000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46564280-0.46559997) × R
    4.28300000000492e-05 × 6371000     		dr = 272.869930000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87892305--0.87887512) × cos(0.46564280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893533134789919 × 6371000     		do = 272.85109191188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87892305--0.87887512) × cos(0.46559997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893552364522889 × 6371000     		du = 272.856963942177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46564280)-sin(0.46559997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893533134789919-0.893552364522889)×R²
    abs(-0.87887512--0.87892305)×1.92297329703051e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92297329703051e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92297329703051e-05×40589641000000     		ar = 74453.6595121926m²