Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47201 / 55449
↖ ↑ ↗
← N 26.684276°
W 50.358581°		 ← 272.84 m → N 26.684276°
W 50.355835°		 →
↑
272.93 m
↓
↑
272.93 m
↓
N 26.681821°
W 50.358581°		 ← 272.85 m →
74 468 m²		 N 26.681821°
W 50.355835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360118865966797 y=0.423046112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360118865966797 × 217)
    floor (0.360118865966797 × 131072)
    floor (47201.5)     		tx = 47201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423046112060547 × 217)
    floor (0.423046112060547 × 131072)
    floor (55449.5)     		ty = 55449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47201 / 55449 ti = "17/47201/55449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47201/55449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47201 ÷ 217
    47201 ÷ 131072     		x = 0.360115051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55449 ÷ 217
    55449 ÷ 131072     		y = 0.423042297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360115051269531 × 2 - 1) × π
    -0.279769897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.87892305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423042297363281 × 2 - 1) × π
    0.153915405273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.483539506467506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87892305} λ = -0.87892305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483539506467506))-π/2
    2×atan(1.62180464312142)-π/2
    2×1.01826239629631-π/2
    2.03652479259261-1.57079632675     		φ = 0.46572847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87892305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.358581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46572847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.684276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47201 KachelY 55449 -0.87892305 0.46572847 -50.358581 26.684276
    Oben rechts KachelX + 1 47202 KachelY 55449 -0.87887512 0.46572847 -50.355835 26.684276
    Unten links KachelX 47201 KachelY + 1 55450 -0.87892305 0.46568563 -50.358581 26.681821
    Unten rechts KachelX + 1 47202 KachelY + 1 55450 -0.87887512 0.46568563 -50.355835 26.681821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46572847-0.46568563) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dl = 272.933639999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46572847-0.46568563) × R
    4.28399999999884e-05 × 6371000     		dr = 272.933639999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87892305--0.87887512) × cos(0.46572847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.89349466591596 × 6371000     		do = 272.839344978436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87892305--0.87887512) × cos(0.46568563) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893513903417844 × 6371000     		du = 272.845219381064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46572847)-sin(0.46568563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89349466591596-0.893513903417844)×R²
    abs(-0.87887512--0.87892305)×1.92375018832625e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92375018832625e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92375018832625e-05×40589641000000     		ar = 74467.8372325767m²