Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4720 / 3728
↖ ↑ ↗
← N 15.961329°
E 27.421875°		 ← 4 698.11 m → N 15.961329°
E 27.465821°		 →
↑
4 698.61 m
↓
↑
4 698.61 m
↓
N 15.919074°
E 27.421875°		 ← 4 699.10 m →
22 076 910 m²		 N 15.919074°
E 27.465821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57623291015625 y=0.45513916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57623291015625 × 213)
    floor (0.57623291015625 × 8192)
    floor (4720.5)     		tx = 4720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45513916015625 × 213)
    floor (0.45513916015625 × 8192)
    floor (3728.5)     		ty = 3728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4720 / 3728 ti = "13/4720/3728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4720/3728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4720 ÷ 213
    4720 ÷ 8192     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3728 ÷ 213
    3728 ÷ 8192     		y = 0.455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455078125 × 2 - 1) × π
    0.08984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.282252464962891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.282252464962891))-π/2
    2×atan(1.3261134749173)-π/2
    2×0.924687036127662-π/2
    1.84937407225532-1.57079632675     		φ = 0.27857775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27857775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.961329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4720 KachelY 3728 0.47860201 0.27857775 27.421875 15.961329
    Oben rechts KachelX + 1 4721 KachelY 3728 0.47936900 0.27857775 27.465821 15.961329
    Unten links KachelX 4720 KachelY + 1 3729 0.47860201 0.27784025 27.421875 15.919074
    Unten rechts KachelX + 1 4721 KachelY + 1 3729 0.47936900 0.27784025 27.465821 15.919074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27857775-0.27784025) × R
    0.000737500000000002 × 6371000     		dl = 4698.61250000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27857775-0.27784025) × R
    0.000737500000000002 × 6371000     		dr = 4698.61250000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.47936900) × cos(0.27857775) × R
    0.000766989999999967 × 0.961447512990499 × 6371000     		do = 4698.10682091506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.47936900) × cos(0.27784025) × R
    0.000766989999999967 × 0.961650055528432 × 6371000     		du = 4699.09654366761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27857775)-sin(0.27784025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961447512990499-0.961650055528432)×R²
    abs(0.47936900-0.47860201)×0.000202542537933281×R²
    0.000766989999999967×0.000202542537933281×6371000²
    0.000766989999999967×0.000202542537933281×40589641000000     		ar = 22076909.597584m²