Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4720 / 2029
↖ ↑ ↗
← N 82.702846°
W128.144531°		 ← 155.17 m → N 82.702846°
W128.133545°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 82.701451°
W128.144531°		 ← 155.20 m →
24 084 m²		 N 82.701451°
W128.133545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144058227539062 y=0.0619354248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144058227539062 × 215)
    floor (0.144058227539062 × 32768)
    floor (4720.5)     		tx = 4720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619354248046875 × 215)
    floor (0.0619354248046875 × 32768)
    floor (2029.5)     		ty = 2029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4720 / 2029 ti = "15/4720/2029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4720/2029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4720 ÷ 215
    4720 ÷ 32768     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2029 ÷ 215
    2029 ÷ 32768     		y = 0.061920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.061920166015625 × 2 - 1) × π
    0.87615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.75253677618362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75253677618362))-π/2
    2×atan(15.6823641147821)-π/2
    2×1.50711664645029-π/2
    3.01423329290059-1.57079632675     		φ = 1.44343697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44343697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.702846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4720 KachelY 2029 -2.23654399 1.44343697 -128.144531 82.702846
    Oben rechts KachelX + 1 4721 KachelY 2029 -2.23635224 1.44343697 -128.133545 82.702846
    Unten links KachelX 4720 KachelY + 1 2030 -2.23654399 1.44341261 -128.144531 82.701451
    Unten rechts KachelX + 1 4721 KachelY + 1 2030 -2.23635224 1.44341261 -128.133545 82.701451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44343697-1.44341261) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dl = 155.19756000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44343697-1.44341261) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dr = 155.19756000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23635224) × cos(1.44343697) × R
    0.000191749999999935 × 0.127015332516636 × 6371000     		do = 155.166915554071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23635224) × cos(1.44341261) × R
    0.000191749999999935 × 0.127039495181309 × 6371000     		du = 155.19643361362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44343697)-sin(1.44341261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127015332516636-0.127039495181309)×R²
    abs(-2.23635224--2.23654399)×2.41626646731441e-05×R²
    0.000191749999999935×2.41626646731441e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.41626646731441e-05×40589641000000     		ar = 24083.8172527334m²