Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4720 / 2000
↖ ↑ ↗
← N 82.743202°
W128.144531°		 ← 154.31 m → N 82.743202°
W128.133545°		 →
↑
154.31 m
↓
↑
154.31 m
↓
N 82.741814°
W128.144531°		 ← 154.34 m →
23 814 m²		 N 82.741814°
W128.133545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144058227539062 y=0.0610504150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144058227539062 × 215)
    floor (0.144058227539062 × 32768)
    floor (4720.5)     		tx = 4720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0610504150390625 × 215)
    floor (0.0610504150390625 × 32768)
    floor (2000.5)     		ty = 2000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4720 / 2000 ti = "15/4720/2000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4720/2000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4720 ÷ 215
    4720 ÷ 32768     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2000 ÷ 215
    2000 ÷ 32768     		y = 0.06103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06103515625 × 2 - 1) × π
    0.8779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.75809745653955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75809745653955))-π/2
    2×atan(15.7698116373787)-π/2
    2×1.507468820139-π/2
    3.014937640278-1.57079632675     		φ = 1.44414131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44414131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.743202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4720 KachelY 2000 -2.23654399 1.44414131 -128.144531 82.743202
    Oben rechts KachelX + 1 4721 KachelY 2000 -2.23635224 1.44414131 -128.133545 82.743202
    Unten links KachelX 4720 KachelY + 1 2001 -2.23654399 1.44411709 -128.144531 82.741814
    Unten rechts KachelX + 1 4721 KachelY + 1 2001 -2.23635224 1.44411709 -128.133545 82.741814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44414131-1.44411709) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dl = 154.305620000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44414131-1.44411709) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dr = 154.305620000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23635224) × cos(1.44414131) × R
    0.000191749999999935 × 0.126316665691675 × 6371000     		do = 154.313396738026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23635224) × cos(1.44411709) × R
    0.000191749999999935 × 0.126340691651689 × 6371000     		du = 154.342747793799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44414131)-sin(1.44411709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126316665691675-0.126340691651689)×R²
    abs(-2.23635224--2.23654399)×2.40259600143844e-05×R²
    0.000191749999999935×2.40259600143844e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.40259600143844e-05×40589641000000     		ar = 23813.6888753467m²