Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 472 / 312
↖ ↑ ↗
← N 57.326521°
W 14.062500°		 ← 21.104 km → N 57.326521°
W 13.710937°		 →
↑
21.158 km
↓
↑
21.158 km
↓
N 57.136239°
W 14.062500°		 ← 21.213 km →
447.678 km²		 N 57.136239°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46142578125 y=0.30517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46142578125 × 210)
    floor (0.46142578125 × 1024)
    floor (472.5)     		tx = 472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30517578125 × 210)
    floor (0.30517578125 × 1024)
    floor (312.5)     		ty = 312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 472 / 312 ti = "10/472/312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/472/312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 472 ÷ 210
    472 ÷ 1024     		x = 0.4609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 312 ÷ 210
    312 ÷ 1024     		y = 0.3046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4609375 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3046875 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24543693} λ = -0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22718463027344))-π/2
    2×atan(3.41161105636743)-π/2
    2×1.28566643543521-π/2
    2.57133287087041-1.57079632675     		φ = 1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 472 KachelY 312 -0.24543693 1.00053654 -14.062500 57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 473 KachelY 312 -0.23930100 1.00053654 -13.710937 57.326521
    Unten links KachelX 472 KachelY + 1 313 -0.24543693 0.99721550 -14.062500 57.136239
    Unten rechts KachelX + 1 473 KachelY + 1 313 -0.23930100 0.99721550 -13.710937 57.136239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00053654-0.99721550) × R
    0.00332103999999989 × 6371000     		dl = 21158.3458399993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00053654-0.99721550) × R
    0.00332103999999989 × 6371000     		dr = 21158.3458399993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24543693--0.23930100) × cos(1.00053654) × R
    0.00613592999999998 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 21103.8507491029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24543693--0.23930100) × cos(0.99721550) × R
    0.00613592999999998 × 0.542643284198053 × 6371000     		du = 21213.0167085824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00053654)-sin(0.99721550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.542643284198053)×R²
    abs(-0.23930100--0.24543693)×0.00279253892024744×R²
    0.00613592999999998×0.00279253892024744×6371000²
    0.00613592999999998×0.00279253892024744×40589641000000     		ar = 447677869.732331m²