Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47197 / 55445
↖ ↑ ↗
← N 26.694091°
W 50.369568°		 ← 272.82 m → N 26.694091°
W 50.366822°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 26.691638°
W 50.369568°		 ← 272.82 m →
74 427 m²		 N 26.691638°
W 50.366822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360088348388672 y=0.423015594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360088348388672 × 217)
    floor (0.360088348388672 × 131072)
    floor (47197.5)     		tx = 47197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423015594482422 × 217)
    floor (0.423015594482422 × 131072)
    floor (55445.5)     		ty = 55445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47197 / 55445 ti = "17/47197/55445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47197/55445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47197 ÷ 217
    47197 ÷ 131072     		x = 0.360084533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55445 ÷ 217
    55445 ÷ 131072     		y = 0.423011779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360084533691406 × 2 - 1) × π
    -0.279830932617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.87911480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423011779785156 × 2 - 1) × π
    0.153976440429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.483731254065987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87911480} λ = -0.87911480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483731254065987))-π/2
    2×atan(1.62211565008341)-π/2
    2×1.01834805533624-π/2
    2.03669611067247-1.57079632675     		φ = 0.46589978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87911480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.369568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46589978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.694091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47197 KachelY 55445 -0.87911480 0.46589978 -50.369568 26.694091
    Oben rechts KachelX + 1 47198 KachelY 55445 -0.87906687 0.46589978 -50.366822 26.694091
    Unten links KachelX 47197 KachelY + 1 55446 -0.87911480 0.46585696 -50.369568 26.691638
    Unten rechts KachelX + 1 47198 KachelY + 1 55446 -0.87906687 0.46585696 -50.366822 26.691638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46589978-0.46585696) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46589978-0.46585696) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87911480--0.87906687) × cos(0.46589978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893417721972125 × 6371000     		do = 272.815849219551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87911480--0.87906687) × cos(0.46585696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893436957047311 × 6371000     		du = 272.821722881157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46589978)-sin(0.46585696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893417721972125-0.893436957047311)×R²
    abs(-0.87906687--0.87911480)×1.92350751858639e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92350751858639e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92350751858639e-05×40589641000000     		ar = 74426.6617786841m²