Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47185 / 55375
↖ ↑ ↗
← N 26.865731°
W 50.402527°		 ← 272.40 m → N 26.865731°
W 50.399780°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
N 26.863280°
W 50.402527°		 ← 272.41 m →
74 227 m²		 N 26.863280°
W 50.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359996795654297 y=0.422481536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359996795654297 × 217)
    floor (0.359996795654297 × 131072)
    floor (47185.5)     		tx = 47185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422481536865234 × 217)
    floor (0.422481536865234 × 131072)
    floor (55375.5)     		ty = 55375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47185 / 55375 ti = "17/47185/55375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47185/55375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47185 ÷ 217
    47185 ÷ 131072     		x = 0.359992980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55375 ÷ 217
    55375 ÷ 131072     		y = 0.422477722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359992980957031 × 2 - 1) × π
    -0.280014038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.87969004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422477722167969 × 2 - 1) × π
    0.155044555664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.487086837039391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87969004} λ = -0.87969004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487086837039391))-π/2
    2×atan(1.62756793642329)-π/2
    2×1.01984589252147-π/2
    2.03969178504295-1.57079632675     		φ = 0.46889546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87969004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.402527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46889546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.865731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47185 KachelY 55375 -0.87969004 0.46889546 -50.402527 26.865731
    Oben rechts KachelX + 1 47186 KachelY 55375 -0.87964211 0.46889546 -50.399780 26.865731
    Unten links KachelX 47185 KachelY + 1 55376 -0.87969004 0.46885269 -50.402527 26.863280
    Unten rechts KachelX + 1 47186 KachelY + 1 55376 -0.87964211 0.46885269 -50.399780 26.863280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46889546-0.46885269) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dl = 272.487669999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46889546-0.46885269) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dr = 272.487669999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87969004--0.87964211) × cos(0.46889546) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.892067975250828 × 6371000     		do = 272.403687820118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87969004--0.87964211) × cos(0.46885269) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.892087302250788 × 6371000     		du = 272.40958955206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46889546)-sin(0.46885269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892067975250828-0.892087302250788)×R²
    abs(-0.87964211--0.87969004)×1.9326999960434e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.9326999960434e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.9326999960434e-05×40589641000000     		ar = 74227.4502794429m²