Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47184 / 55280
↖ ↑ ↗
← N 27.098254°
W 50.405273°		 ← 271.90 m → N 27.098254°
W 50.402527°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
N 27.095809°
W 50.405273°		 ← 271.90 m →
73 916 m²		 N 27.095809°
W 50.402527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359989166259766 y=0.421756744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359989166259766 × 217)
    floor (0.359989166259766 × 131072)
    floor (47184.5)     		tx = 47184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421756744384766 × 217)
    floor (0.421756744384766 × 131072)
    floor (55280.5)     		ty = 55280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47184 / 55280 ti = "17/47184/55280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47184/55280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47184 ÷ 217
    47184 ÷ 131072     		x = 0.3599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55280 ÷ 217
    55280 ÷ 131072     		y = 0.4217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87973798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4217529296875 × 2 - 1) × π
    0.156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.491640842503296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87973798} λ = -0.87973798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491640842503296))-π/2
    2×atan(1.63499679238507)-π/2
    2×1.02187503949295-π/2
    2.04375007898591-1.57079632675     		φ = 0.47295375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87973798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.405273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47295375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.098254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47184 KachelY 55280 -0.87973798 0.47295375 -50.405273 27.098254
    Oben rechts KachelX + 1 47185 KachelY 55280 -0.87969004 0.47295375 -50.402527 27.098254
    Unten links KachelX 47184 KachelY + 1 55281 -0.87973798 0.47291108 -50.405273 27.095809
    Unten rechts KachelX + 1 47185 KachelY + 1 55281 -0.87969004 0.47291108 -50.402527 27.095809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47295375-0.47291108) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dl = 271.850570000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47295375-0.47291108) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dr = 271.850570000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87973798--0.87969004) × cos(0.47295375) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890226687972137 × 6371000     		do = 271.898144942091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87973798--0.87969004) × cos(0.47291108) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890246124105192 × 6371000     		du = 271.904081237411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47295375)-sin(0.47291108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890226687972137-0.890246124105192)×R²
    abs(-0.87969004--0.87973798)×1.94361330545512e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94361330545512e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94361330545512e-05×40589641000000     		ar = 73916.4725883301m²