Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47183 / 55281
↖ ↑ ↗
← N 27.095809°
W 50.408020°		 ← 271.90 m → N 27.095809°
W 50.405273°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 27.093364°
W 50.408020°		 ← 271.91 m →
73 935 m²		 N 27.093364°
W 50.405273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359981536865234 y=0.421764373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359981536865234 × 217)
    floor (0.359981536865234 × 131072)
    floor (47183.5)     		tx = 47183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421764373779297 × 217)
    floor (0.421764373779297 × 131072)
    floor (55281.5)     		ty = 55281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47183 / 55281 ti = "17/47183/55281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47183/55281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47183 ÷ 217
    47183 ÷ 131072     		x = 0.359977722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55281 ÷ 217
    55281 ÷ 131072     		y = 0.421760559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359977722167969 × 2 - 1) × π
    -0.280044555664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.87978592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421760559082031 × 2 - 1) × π
    0.156478881835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.491592905603676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87978592} λ = -0.87978592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491592905603676))-π/2
    2×atan(1.63491841758649)-π/2
    2×1.02185370190633-π/2
    2.04370740381266-1.57079632675     		φ = 0.47291108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87978592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.408020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47291108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.095809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47183 KachelY 55281 -0.87978592 0.47291108 -50.408020 27.095809
    Oben rechts KachelX + 1 47184 KachelY 55281 -0.87973798 0.47291108 -50.405273 27.095809
    Unten links KachelX 47183 KachelY + 1 55282 -0.87978592 0.47286840 -50.408020 27.093364
    Unten rechts KachelX + 1 47184 KachelY + 1 55282 -0.87973798 0.47286840 -50.405273 27.093364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47291108-0.47286840) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47291108-0.47286840) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87978592--0.87973798) × cos(0.47291108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890246124105192 × 6371000     		do = 271.904081236782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87978592--0.87973798) × cos(0.47286840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890265563171768 × 6371000     		du = 271.910018428076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47291108)-sin(0.47286840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890246124105192-0.890265563171768)×R²
    abs(-0.87973798--0.87978592)×1.94390665756439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94390665756439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94390665756439e-05×40589641000000     		ar = 73935.4096933019m²