Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47172 / 55236
↖ ↑ ↗
← N 27.205786°
W 50.438232°		 ← 271.58 m → N 27.205786°
W 50.435486°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 27.203343°
W 50.438232°		 ← 271.59 m →
73 778 m²		 N 27.203343°
W 50.435486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359897613525391 y=0.421421051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359897613525391 × 217)
    floor (0.359897613525391 × 131072)
    floor (47172.5)     		tx = 47172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421421051025391 × 217)
    floor (0.421421051025391 × 131072)
    floor (55236.5)     		ty = 55236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47172 / 55236 ti = "17/47172/55236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47172/55236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47172 ÷ 217
    47172 ÷ 131072     		x = 0.359893798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55236 ÷ 217
    55236 ÷ 131072     		y = 0.421417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359893798828125 × 2 - 1) × π
    -0.28021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88031322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421417236328125 × 2 - 1) × π
    0.15716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.493750066086578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88031322} λ = -0.88031322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493750066086578))-π/2
    2×atan(1.63844900564311)-π/2
    2×1.02281343163245-π/2
    2.0456268632649-1.57079632675     		φ = 0.47483054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88031322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.438232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47483054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.205786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47172 KachelY 55236 -0.88031322 0.47483054 -50.438232 27.205786
    Oben rechts KachelX + 1 47173 KachelY 55236 -0.88026529 0.47483054 -50.435486 27.205786
    Unten links KachelX 47172 KachelY + 1 55237 -0.88031322 0.47478790 -50.438232 27.203343
    Unten rechts KachelX + 1 47173 KachelY + 1 55237 -0.88026529 0.47478790 -50.435486 27.203343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47483054-0.47478790) × R
    4.26400000000382e-05 × 6371000     		dl = 271.659440000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47483054-0.47478790) × R
    4.26400000000382e-05 × 6371000     		dr = 271.659440000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88031322--0.88026529) × cos(0.47483054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889370209427284 × 6371000     		do = 271.579892572407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88031322--0.88026529) × cos(0.47478790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889389703104044 × 6371000     		du = 271.585845201114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47483054)-sin(0.47478790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889370209427284-0.889389703104044)×R²
    abs(-0.88026529--0.88031322)×1.94936767603515e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94936767603515e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94936767603515e-05×40589641000000     		ar = 73778.0500865921m²