Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4717 / 3461
↖ ↑ ↗
← N 26.863280°
E 27.290039°		 ← 4 359.24 m → N 26.863280°
E 27.333985°		 →
↑
4 359.93 m
↓
↑
4 359.93 m
↓
N 26.824071°
E 27.290039°		 ← 4 360.75 m →
19 009 255 m²		 N 26.824071°
E 27.333985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57586669921875 y=0.42254638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57586669921875 × 213)
    floor (0.57586669921875 × 8192)
    floor (4717.5)     		tx = 4717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42254638671875 × 213)
    floor (0.42254638671875 × 8192)
    floor (3461.5)     		ty = 3461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4717 / 3461 ti = "13/4717/3461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4717/3461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4717 ÷ 213
    4717 ÷ 8192     		x = 0.5758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3461 ÷ 213
    3461 ÷ 8192     		y = 0.4224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5758056640625 × 2 - 1) × π
    0.151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47630103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4224853515625 × 2 - 1) × π
    0.155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.487038900139771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47630103} λ = 0.47630103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487038900139771))-π/2
    2×atan(1.6274899177325)-π/2
    2×1.01982451080338-π/2
    2.03964902160676-1.57079632675     		φ = 0.46885269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47630103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.290039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46885269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.863280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4717 KachelY 3461 0.47630103 0.46885269 27.290039 26.863280
    Oben rechts KachelX + 1 4718 KachelY 3461 0.47706803 0.46885269 27.333985 26.863280
    Unten links KachelX 4717 KachelY + 1 3462 0.47630103 0.46816835 27.290039 26.824071
    Unten rechts KachelX + 1 4718 KachelY + 1 3462 0.47706803 0.46816835 27.333985 26.824071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46885269-0.46816835) × R
    0.000684340000000005 × 6371000     		dl = 4359.93014000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46885269-0.46816835) × R
    0.000684340000000005 × 6371000     		dr = 4359.93014000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47630103-0.47706803) × cos(0.46885269) × R
    0.000766999999999962 × 0.892087302250788 × 6371000     		do = 4359.23545142449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47630103-0.47706803) × cos(0.46816835) × R
    0.000766999999999962 × 0.8923963213167 × 6371000     		du = 4360.74549070416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46885269)-sin(0.46816835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892087302250788-0.8923963213167)×R²
    abs(0.47706803-0.47630103)×0.000309019065912186×R²
    0.000766999999999962×0.000309019065912186×6371000²
    0.000766999999999962×0.000309019065912186×40589641000000     		ar = 19009254.6067748m²