Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47169 / 55359
↖ ↑ ↗
← N 26.904926°
W 50.446472°		 ← 272.37 m → N 26.904926°
W 50.443726°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
N 26.902477°
W 50.446472°		 ← 272.37 m →
74 182 m²		 N 26.902477°
W 50.443726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359874725341797 y=0.422359466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359874725341797 × 217)
    floor (0.359874725341797 × 131072)
    floor (47169.5)     		tx = 47169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422359466552734 × 217)
    floor (0.422359466552734 × 131072)
    floor (55359.5)     		ty = 55359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47169 / 55359 ti = "17/47169/55359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47169/55359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47169 ÷ 217
    47169 ÷ 131072     		x = 0.359870910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55359 ÷ 217
    55359 ÷ 131072     		y = 0.422355651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359870910644531 × 2 - 1) × π
    -0.280258178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.88045704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422355651855469 × 2 - 1) × π
    0.155288696289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.487853827433311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88045704} λ = -0.88045704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487853827433311))-π/2
    2×atan(1.62881674424656)-π/2
    2×1.02018793699856-π/2
    2.04037587399713-1.57079632675     		φ = 0.46957955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88045704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.446472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46957955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.904926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47169 KachelY 55359 -0.88045704 0.46957955 -50.446472 26.904926
    Oben rechts KachelX + 1 47170 KachelY 55359 -0.88040910 0.46957955 -50.443726 26.904926
    Unten links KachelX 47169 KachelY + 1 55360 -0.88045704 0.46953680 -50.446472 26.902477
    Unten rechts KachelX + 1 47170 KachelY + 1 55360 -0.88040910 0.46953680 -50.443726 26.902477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46957955-0.46953680) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dl = 272.360250000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46957955-0.46953680) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dr = 272.360250000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88045704--0.88040910) × cos(0.46957955) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.891758625423488 × 6371000     		do = 272.366038071804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88045704--0.88040910) × cos(0.46953680) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.891777969470339 × 6371000     		du = 272.371946241628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46957955)-sin(0.46953680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891758625423488-0.891777969470339)×R²
    abs(-0.88040910--0.88045704)×1.93440468507777e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.93440468507777e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.93440468507777e-05×40589641000000     		ar = 74182.4868074849m²