Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47166 / 55366
↖ ↑ ↗
← N 26.887780°
W 50.454712°		 ← 272.41 m → N 26.887780°
W 50.451965°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
N 26.885330°
W 50.454712°		 ← 272.41 m →
74 211 m²		 N 26.885330°
W 50.451965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359851837158203 y=0.422412872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359851837158203 × 217)
    floor (0.359851837158203 × 131072)
    floor (47166.5)     		tx = 47166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422412872314453 × 217)
    floor (0.422412872314453 × 131072)
    floor (55366.5)     		ty = 55366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47166 / 55366 ti = "17/47166/55366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47166/55366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47166 ÷ 217
    47166 ÷ 131072     		x = 0.359848022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55366 ÷ 217
    55366 ÷ 131072     		y = 0.422409057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359848022460938 × 2 - 1) × π
    -0.280303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88060085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422409057617188 × 2 - 1) × π
    0.155181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.487518269135971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88060085} λ = -0.88060085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487518269135971))-π/2
    2×atan(1.6282702729648)-π/2
    2×1.02003830713768-π/2
    2.04007661427537-1.57079632675     		φ = 0.46928029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88060085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.454712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46928029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.887780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47166 KachelY 55366 -0.88060085 0.46928029 -50.454712 26.887780
    Oben rechts KachelX + 1 47167 KachelY 55366 -0.88055291 0.46928029 -50.451965 26.887780
    Unten links KachelX 47166 KachelY + 1 55367 -0.88060085 0.46923753 -50.454712 26.885330
    Unten rechts KachelX + 1 47167 KachelY + 1 55367 -0.88055291 0.46923753 -50.451965 26.885330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46928029-0.46923753) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46928029-0.46923753) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88060085--0.88055291) × cos(0.46928029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891894004047272 × 6371000     		do = 272.407386187522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88060085--0.88055291) × cos(0.46923753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891913341206603 × 6371000     		du = 272.41329225372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46928029)-sin(0.46923753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891894004047272-0.891913341206603)×R²
    abs(-0.88055291--0.88060085)×1.9337159331112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9337159331112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9337159331112e-05×40589641000000     		ar = 74211.1033667215m²