Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47161 / 55323
↖ ↑ ↗
← N 26.993066°
W 50.468445°		 ← 272.15 m → N 26.993066°
W 50.465698°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.990619°
W 50.468445°		 ← 272.16 m →
74 072 m²		 N 26.990619°
W 50.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359813690185547 y=0.422084808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359813690185547 × 217)
    floor (0.359813690185547 × 131072)
    floor (47161.5)     		tx = 47161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422084808349609 × 217)
    floor (0.422084808349609 × 131072)
    floor (55323.5)     		ty = 55323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47161 / 55323 ti = "17/47161/55323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47161/55323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47161 ÷ 217
    47161 ÷ 131072     		x = 0.359809875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55323 ÷ 217
    55323 ÷ 131072     		y = 0.422080993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359809875488281 × 2 - 1) × π
    -0.280380249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.88084053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422080993652344 × 2 - 1) × π
    0.155838012695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.489579555819633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88084053} λ = -0.88084053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489579555819633))-π/2
    2×atan(1.63163006635493)-π/2
    2×1.0209571029185-π/2
    2.04191420583699-1.57079632675     		φ = 0.47111788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88084053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.468445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47111788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.993066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47161 KachelY 55323 -0.88084053 0.47111788 -50.468445 26.993066
    Oben rechts KachelX + 1 47162 KachelY 55323 -0.88079259 0.47111788 -50.465698 26.993066
    Unten links KachelX 47161 KachelY + 1 55324 -0.88084053 0.47107516 -50.468445 26.990619
    Unten rechts KachelX + 1 47162 KachelY + 1 55324 -0.88079259 0.47107516 -50.465698 26.990619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47111788-0.47107516) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47111788-0.47107516) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88084053--0.88079259) × cos(0.47111788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891061458703438 × 6371000     		do = 272.153105409798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88084053--0.88079259) × cos(0.47107516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891080847757939 × 6371000     		du = 272.159027326118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47111788)-sin(0.47107516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891061458703438-0.891080847757939)×R²
    abs(-0.88079259--0.88084053)×1.93890545018283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93890545018283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93890545018283e-05×40589641000000     		ar = 74072.4770972012m²