Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47160 / 55320
↖ ↑ ↗
← N 27.000408°
W 50.471192°		 ← 272.14 m → N 27.000408°
W 50.468445°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
N 26.997961°
W 50.471192°		 ← 272.14 m →
74 050 m²		 N 26.997961°
W 50.468445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359806060791016 y=0.422061920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359806060791016 × 217)
    floor (0.359806060791016 × 131072)
    floor (47160.5)     		tx = 47160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422061920166016 × 217)
    floor (0.422061920166016 × 131072)
    floor (55320.5)     		ty = 55320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47160 / 55320 ti = "17/47160/55320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47160/55320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47160 ÷ 217
    47160 ÷ 131072     		x = 0.35980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55320 ÷ 217
    55320 ÷ 131072     		y = 0.42205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35980224609375 × 2 - 1) × π
    -0.2803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88088847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42205810546875 × 2 - 1) × π
    0.1558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.489723366518494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88088847} λ = -0.88088847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489723366518494))-π/2
    2×atan(1.63186472908816)-π/2
    2×1.02102117291285-π/2
    2.04204234582571-1.57079632675     		φ = 0.47124602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88088847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.471192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47124602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.000408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47160 KachelY 55320 -0.88088847 0.47124602 -50.471192 27.000408
    Oben rechts KachelX + 1 47161 KachelY 55320 -0.88084053 0.47124602 -50.468445 27.000408
    Unten links KachelX 47160 KachelY + 1 55321 -0.88088847 0.47120331 -50.471192 26.997961
    Unten rechts KachelX + 1 47161 KachelY + 1 55321 -0.88084053 0.47120331 -50.468445 26.997961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47124602-0.47120331) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47124602-0.47120331) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88088847--0.88084053) × cos(0.47124602) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.891003290862896 × 6371000     		do = 272.135339454687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88088847--0.88084053) × cos(0.47120331) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.8910226802555 × 6371000     		du = 272.141261474271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47124602)-sin(0.47120331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891003290862896-0.8910226802555)×R²
    abs(-0.88084053--0.88088847)×1.93893926038191e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.93893926038191e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.93893926038191e-05×40589641000000     		ar = 74050.3038358541m²