Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47158 / 55314
↖ ↑ ↗
← N 27.015090°
W 50.476685°		 ← 272.10 m → N 27.015090°
W 50.473938°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.012644°
W 50.476685°		 ← 272.11 m →
74 023 m²		 N 27.012644°
W 50.473938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359790802001953 y=0.422016143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359790802001953 × 217)
    floor (0.359790802001953 × 131072)
    floor (47158.5)     		tx = 47158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422016143798828 × 217)
    floor (0.422016143798828 × 131072)
    floor (55314.5)     		ty = 55314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47158 / 55314 ti = "17/47158/55314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47158/55314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47158 ÷ 217
    47158 ÷ 131072     		x = 0.359786987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55314 ÷ 217
    55314 ÷ 131072     		y = 0.422012329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359786987304688 × 2 - 1) × π
    -0.280426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88098434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422012329101562 × 2 - 1) × π
    0.155975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.490010987916214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88098434} λ = -0.88098434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490010987916214))-π/2
    2×atan(1.63233415580778)-π/2
    2×1.02114930035189-π/2
    2.04229860070378-1.57079632675     		φ = 0.47150227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88098434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47150227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.015090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47158 KachelY 55314 -0.88098434 0.47150227 -50.476685 27.015090
    Oben rechts KachelX + 1 47159 KachelY 55314 -0.88093640 0.47150227 -50.473938 27.015090
    Unten links KachelX 47158 KachelY + 1 55315 -0.88098434 0.47145957 -50.476685 27.012644
    Unten rechts KachelX + 1 47159 KachelY + 1 55315 -0.88093640 0.47145957 -50.473938 27.012644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47150227-0.47145957) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47150227-0.47145957) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88098434--0.88093640) × cos(0.47150227) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890886924919077 × 6371000     		do = 272.099798300185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88098434--0.88093640) × cos(0.47145957) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.890906319520809 × 6371000     		du = 272.105721910771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47150227)-sin(0.47145957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890886924919077-0.890906319520809)×R²
    abs(-0.88093640--0.88098434)×1.9394601731948e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9394601731948e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9394601731948e-05×40589641000000     		ar = 74023.2974451178m²