Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47156 / 55308
↖ ↑ ↗
← N 27.029771°
W 50.482178°		 ← 272.06 m → N 27.029771°
W 50.479431°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
N 27.027324°
W 50.482178°		 ← 272.07 m →
74 031 m²		 N 27.027324°
W 50.479431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359775543212891 y=0.421970367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359775543212891 × 217)
    floor (0.359775543212891 × 131072)
    floor (47156.5)     		tx = 47156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421970367431641 × 217)
    floor (0.421970367431641 × 131072)
    floor (55308.5)     		ty = 55308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47156 / 55308 ti = "17/47156/55308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47156/55308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47156 ÷ 217
    47156 ÷ 131072     		x = 0.359771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55308 ÷ 217
    55308 ÷ 131072     		y = 0.421966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.28045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88108022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421966552734375 × 2 - 1) × π
    0.15606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.490298609313934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88108022} λ = -0.88108022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490298609313934))-π/2
    2×atan(1.63280371756398)-π/2
    2×1.02127741105282-π/2
    2.04255482210565-1.57079632675     		φ = 0.47175850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88108022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47175850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.029771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47156 KachelY 55308 -0.88108022 0.47175850 -50.482178 27.029771
    Oben rechts KachelX + 1 47157 KachelY 55308 -0.88103228 0.47175850 -50.479431 27.029771
    Unten links KachelX 47156 KachelY + 1 55309 -0.88108022 0.47171579 -50.482178 27.027324
    Unten rechts KachelX + 1 47157 KachelY + 1 55309 -0.88103228 0.47171579 -50.479431 27.027324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47175850-0.47171579) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47175850-0.47171579) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88108022--0.88103228) × cos(0.47175850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890770509565072 × 6371000     		do = 272.064242053911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88108022--0.88103228) × cos(0.47171579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89078991845764 × 6371000     		du = 272.070170029286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47175850)-sin(0.47171579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890770509565072-0.89078991845764)×R²
    abs(-0.88103228--0.88108022)×1.94088925675739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94088925675739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94088925675739e-05×40589641000000     		ar = 74030.958658856m²