Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47155 / 55331
↖ ↑ ↗
← N 26.973485°
W 50.484924°		 ← 272.14 m → N 26.973485°
W 50.482178°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.971038°
W 50.484924°		 ← 272.15 m →
74 070 m²		 N 26.971038°
W 50.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359767913818359 y=0.422145843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359767913818359 × 217)
    floor (0.359767913818359 × 131072)
    floor (47155.5)     		tx = 47155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422145843505859 × 217)
    floor (0.422145843505859 × 131072)
    floor (55331.5)     		ty = 55331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47155 / 55331 ti = "17/47155/55331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47155/55331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47155 ÷ 217
    47155 ÷ 131072     		x = 0.359764099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55331 ÷ 217
    55331 ÷ 131072     		y = 0.422142028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359764099121094 × 2 - 1) × π
    -0.280471801757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.88112815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422142028808594 × 2 - 1) × π
    0.155715942382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.489196060622673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88112815} λ = -0.88112815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489196060622673))-π/2
    2×atan(1.63100446402668)-π/2
    2×1.02078622915607-π/2
    2.04157245831213-1.57079632675     		φ = 0.47077613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88112815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.484924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47077613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.973485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47155 KachelY 55331 -0.88112815 0.47077613 -50.484924 26.973485
    Oben rechts KachelX + 1 47156 KachelY 55331 -0.88108022 0.47077613 -50.482178 26.973485
    Unten links KachelX 47155 KachelY + 1 55332 -0.88112815 0.47073341 -50.484924 26.971038
    Unten rechts KachelX + 1 47156 KachelY + 1 55332 -0.88108022 0.47073341 -50.482178 26.971038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47077613-0.47073341) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47077613-0.47073341) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88112815--0.88108022) × cos(0.47077613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891216521067499 × 6371000     		do = 272.143686042876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88112815--0.88108022) × cos(0.47073341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891235897111622 × 6371000     		du = 272.149602751042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47077613)-sin(0.47073341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891216521067499-0.891235897111622)×R²
    abs(-0.88108022--0.88112815)×1.93760441230539e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93760441230539e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93760441230539e-05×40589641000000     		ar = 74069.9127277766m²