Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4715 / 3730
↖ ↑ ↗
← N 15.876809°
E 27.202148°		 ← 4 700.08 m → N 15.876809°
E 27.246094°		 →
↑
4 700.59 m
↓
↑
4 700.59 m
↓
N 15.834536°
E 27.202148°		 ← 4 701.07 m →
22 095 472 m²		 N 15.834536°
E 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57562255859375 y=0.45538330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57562255859375 × 213)
    floor (0.57562255859375 × 8192)
    floor (4715.5)     		tx = 4715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45538330078125 × 213)
    floor (0.45538330078125 × 8192)
    floor (3730.5)     		ty = 3730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4715 / 3730 ti = "13/4715/3730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4715/3730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4715 ÷ 213
    4715 ÷ 8192     		x = 0.5755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3730 ÷ 213
    3730 ÷ 8192     		y = 0.455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5755615234375 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    0.08935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.280718484175049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47476705} λ = 0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.280718484175049))-π/2
    2×atan(1.32408080176365)-π/2
    2×0.92394945983351-π/2
    1.84789891966702-1.57079632675     		φ = 0.27710259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27710259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.876809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4715 KachelY 3730 0.47476705 0.27710259 27.202148 15.876809
    Oben rechts KachelX + 1 4716 KachelY 3730 0.47553404 0.27710259 27.246094 15.876809
    Unten links KachelX 4715 KachelY + 1 3731 0.47476705 0.27636478 27.202148 15.834536
    Unten rechts KachelX + 1 4716 KachelY + 1 3731 0.47553404 0.27636478 27.246094 15.834536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27710259-0.27636478) × R
    0.000737810000000005 × 6371000     		dl = 4700.58751000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27710259-0.27636478) × R
    0.000737810000000005 × 6371000     		dr = 4700.58751000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47476705-0.47553404) × cos(0.27710259) × R
    0.000766989999999967 × 0.961852118790113 × 6371000     		do = 4700.08392443997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47476705-0.47553404) × cos(0.27636478) × R
    0.000766989999999967 × 0.962053699596455 × 6371000     		du = 4701.06894769755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27710259)-sin(0.27636478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961852118790113-0.962053699596455)×R²
    abs(0.47553404-0.47476705)×0.000201580806342361×R²
    0.000766989999999967×0.000201580806342361×6371000²
    0.000766989999999967×0.000201580806342361×40589641000000     		ar = 22095471.8875162m²