Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47132 / 55244
↖ ↑ ↗
← N 27.186242°
W 50.548096°		 ← 271.68 m → N 27.186242°
W 50.545349°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 27.183799°
W 50.548096°		 ← 271.69 m →
73 806 m²		 N 27.183799°
W 50.545349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359592437744141 y=0.421482086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359592437744141 × 217)
    floor (0.359592437744141 × 131072)
    floor (47132.5)     		tx = 47132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421482086181641 × 217)
    floor (0.421482086181641 × 131072)
    floor (55244.5)     		ty = 55244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47132 / 55244 ti = "17/47132/55244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47132/55244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47132 ÷ 217
    47132 ÷ 131072     		x = 0.359588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55244 ÷ 217
    55244 ÷ 131072     		y = 0.421478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.28082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88223070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421478271484375 × 2 - 1) × π
    0.15704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.493366570889618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88223070} λ = -0.88223070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493366570889618))-π/2
    2×atan(1.63782078878575)-π/2
    2×1.0226428820829-π/2
    2.0452857641658-1.57079632675     		φ = 0.47448944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88223070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.548096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47448944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.186242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47132 KachelY 55244 -0.88223070 0.47448944 -50.548096 27.186242
    Oben rechts KachelX + 1 47133 KachelY 55244 -0.88218276 0.47448944 -50.545349 27.186242
    Unten links KachelX 47132 KachelY + 1 55245 -0.88223070 0.47444680 -50.548096 27.183799
    Unten rechts KachelX + 1 47133 KachelY + 1 55245 -0.88218276 0.47444680 -50.545349 27.183799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47448944-0.47444680) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47448944-0.47444680) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88223070--0.88218276) × cos(0.47448944) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889526104423978 × 6371000     		do = 271.684168693462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88223070--0.88218276) × cos(0.47444680) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889545585164014 × 6371000     		du = 271.690118612903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47448944)-sin(0.47444680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889526104423978-0.889545585164014)×R²
    abs(-0.88218276--0.88223070)×1.94807400361041e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94807400361041e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94807400361041e-05×40589641000000     		ar = 73806.3773110946m²